Подмножество моделирования

Подмножество моделирования ^{[ 1 ]} — это метод, используемый в проектировании надежности для расчета вероятности небольших (т. е. редких событий) отказов, встречающихся в инженерных системах. Основная идея состоит в том, чтобы выразить малую вероятность отказа как произведение более крупных условных вероятностей путем введения промежуточных событий отказа. Это концептуально преобразует исходную проблему редких событий в серию проблем с частыми событиями, которые легче решить. В реальной реализации выборки, обусловленные событиями промежуточного отказа, генерируются адаптивно для постепенного заполнения от области частых событий к области редких. Эти «условные выборки» предоставляют информацию для оценки дополнительной кумулятивной функции распределения (CCDF) интересующей величины (которая определяет отказ), охватывающей области как с высокой, так и с низкой вероятностью. Их также можно использовать для расследования причин и последствий отказов. Генерация условных выборок нетривиальна, но ее можно эффективно выполнить с помощью цепи Маркова Монте-Карло. (МКМК).

Моделирование подмножества рассматривает взаимосвязь между (входными) случайными величинами и интересующей (выходной) величиной ответа как « черный ящик ». Это может быть привлекательно для сложных систем, где трудно использовать другие методы уменьшения дисперсии или выборки редких событий , требующие предварительной информации о поведении системы. Для задач, в которых можно включить априорную информацию в алгоритм надежности, часто более эффективно использовать другие методы уменьшения дисперсии , такие как выборка по важности . Было показано, что подмножественное моделирование более эффективно, чем традиционное моделирование Монте-Карло , но менее эффективно, чем линейное моделирование , применительно к задаче испытания механики разрушения . ^{[ 2 ]}

Основная идея

Пусть X — вектор случайных величин, а Y = h ( X ) — интересующая скалярная (выходная) величина отклика, для которой вероятность отказа $P(F)=P(Y>b)$ предстоит определить. Каждая оценка h (·) является дорогостоящей, поэтому ее следует избегать, если это возможно. Используя прямые методы Монте-Карло, можно сгенерировать iid ( независимые и одинаково распределенные ) выборки X , а затем оценить P ( F ) просто как долю выборок с Y > b . Однако это неэффективно, когда P ( F ) мало, потому что большинство образцов не потерпят неудачу (т. е. с Y ≤ b ), и во многих случаях оценка будет равна 0. Как правило, для малого P ( F ) требуется 10 неудачных образцов для оценки P (F) с коэффициентом вариации 30% (умеренное требование). Например, 10 000 выборок iid и, следовательно, оценки h для такой оценки потребуется (·), если P ( F ) = 0,001.

Подмножественное моделирование пытается преобразовать проблему редкого события в более частую. Позволять $b_{1}<b_{2}<\cdots <b_{m}=b$ быть возрастающей последовательностью промежуточных пороговых уровней. Исходя из основного свойства условной вероятности ,

{\begin{aligned}P(Y>b)&=P(Y>b_{m}\mid Y>b_{m-1})P(Y>b_{m-1})\\&=P(Y>b_{m}\mid Y>b_{m-1})P(Y>b_{m-1}\mid Y>b_{m-2})P(Y>b_{m-2})\\&=\cdots \\&=P(Y>b_{m}\mid Y>b_{m-1})P(Y>b_{m-1}\mid Y>b_{m-2})\cdots P(Y>b_{2}\mid Y>b_{1})P(Y>b_{1})\end{aligned}}

«Сырая идея» моделирования подмножества состоит в том, чтобы оценить P(F) путем оценки $P(Y>b_{1})$ и условные вероятности $P(Y>b_{i}\mid Y>b_{i-1})$ для $i=2,\ldots ,m$ , ожидая прироста эффективности, когда эти вероятности не малы. Для реализации этой идеи есть две основные проблемы:

Оценка условных вероятностей посредством моделирования требует эффективного создания выборок X в зависимости от промежуточных событий отказа, т. е. условных выборок. Это вообще нетривиально.
Промежуточные пороговые уровни $b_{i}$ следует выбирать так, чтобы промежуточные вероятности не были слишком маленькими (в противном случае снова возникает проблема с редкими событиями), но и не слишком большими (в противном случае потребуется слишком много уровней для достижения целевого события). Однако для этого требуется информация CCDF, который является целью оценки.

В стандартном алгоритме моделирования подмножеств первая проблема решается с помощью цепи Маркова Монте-Карло . ^{[ 3 ]} более универсальные и гибкие версии алгоритмов моделирования, не основанные на цепях Маркова Монте-Карло . Недавно были разработаны ^{[ 4 ]} Вторая проблема решается путем адаптивного выбора промежуточных пороговых уровней { b _i } с использованием выборок из последнего уровня моделирования. В результате моделирование подмножества фактически создает набор оценок для b , который соответствует различным фиксированным значениям p = P ( Y > b ), а не оценкам вероятностей для фиксированных пороговых значений.

Существует ряд вариаций подмножества моделирования, используемого в разных контекстах в прикладных исследованиях вероятностей и стохастических операций. ^{[ 5 ]} ^{[ 6 ]} Например, в некоторых вариантах усилия по моделированию для оценки каждая условная вероятность P( Y > b _i | Y > b _{i −1} ) ( i = 2, ..., m ) не может быть фиксирована до моделирования, но может быть случайной, аналогично методу расщепления в редких случаях. оценка вероятности события. ^{[ 7 ]} Эти версии подмножества моделирования также можно использовать для приблизительной выборки из распределения X с учетом отказа системы (т. е. при условии, что событие $\{Y>b\}$ ). В этом случае относительная дисперсия (случайного) числа частиц на конечном уровне $m$ может использоваться для ограничения ошибки выборки, измеряемой общим расстоянием вариации вероятностных мер . ^{[ 8 ]}

См. также

Примечания

См. Ау и Ван ^{[ 9 ]} за вводный обзор подмножества моделирования и его применения для инженерного анализа рисков.
Шуллер и Прадлвартер ^{[ 10 ]} сообщает о производительности подмножества моделирования (и других методов уменьшения дисперсии) в наборе эталонных задач стохастической механики.
Глава 4 Фуна ^{[ 11 ]} обсуждается применение подмножества моделирования (и других методов Монте-Карло) для решения инженерно-геологических задач.
Зио и Педрони ^{[ 12 ]} обсуждается применение подмножества моделирования (и других методов) для решения проблем ядерной техники.

Ссылки

^ Ау, СК; Бек, Джеймс Л. (октябрь 2001 г.). «Оценка вероятности небольших отказов в больших размерностях путем подмножества моделирования». Вероятностная инженерная механика . 16 (4): 263–277. CiteSeerX 10.1.1.131.1941 . дои : 10.1016/S0266-8920(01)00019-4 .
^ Зио, Э; Педрони, Н. (2009). «Моделирование подмножества и выборка линий для расширенного анализа надежности Монте-Карло». Надежность, риск и безопасность (PDF) . дои : 10.1201/9780203859759.ch94 . ISBN 978-0-415-55509-8 . S2CID 9845287 .
^ Ау, Сиу-Куй (2016). «Об алгоритме MCMC для подмножественного моделирования». Вероятностная инженерная механика . 43 : 117–120. дои : 10.1016/j.probengmech.2015.12.003 .
^ Ау, Сиу-Куй; Пателли, Эдоардо (2016). «Моделирование редких событий в конечно-бесконечномерном пространстве» (PDF) . Проектирование надежности и системная безопасность . 148 : 67–77. дои : 10.1016/j.ress.2015.11.012 .
^ Виллен-Альтамирано, Мануэль; Виллен-Альтамирано, Хосе (1994). «Перезапуск: простой метод быстрого моделирования редких событий» . Написано в Сан-Диего, Калифорния, США. Материалы 26-й Зимней симуляционной конференции . ВСК '94. Орландо, Флорида, США: Международное общество компьютерного моделирования. стр. 282–289 . ISBN 0-7803-2109-Х . акмид 194044.
^ Ботев З.И.; Крозе, Д.П. (2008). «Эффективный алгоритм оценки вероятности редких событий, комбинаторной оптимизации и подсчета». Методология и вычисления в прикладной теории вероятности . 10 (4): 471–505. CiteSeerX 10.1.1.399.7912 . дои : 10.1007/s11009-008-9073-7 . S2CID 1147040 .
^ Ботев З.И.; Крозе, Д.П. (2012). «Эффективное моделирование Монте-Карло с помощью обобщенного метода расщепления». Статистика и вычисления . 22 (1): 1–16. дои : 10.1007/s11222-010-9201-4 . S2CID 14970946 .
^ Ботев З.И.; Л'Экуйер, П. (2020). «Условная выборка по редкому событию посредством обобщенного разделения». ИНФОРМС Журнал по вычислительной технике . arXiv : 1909.03566 . дои : 10.1287/ijoc.2019.0936 . S2CID 202540190 .
^ Ау, СК; Ван, Ю. (2014). Оценка инженерных рисков с помощью подмножества моделирования . Сингапур: Джон Вили и сыновья . ISBN 978-1-118-39804-3 .
^ Шуэллер, Г.И.; Прадлвартер, HJ (2007). «Эталонное исследование по оценке надежности в высших измерениях структурных систем - обзор». Структурная безопасность . 29 (3): 167–182. doi : 10.1016/j.strusafe.2006.07.010 .
^ Фун, К.К. (2008). Надежное проектирование в геотехнической инженерии: расчеты и приложения . Сингапур: Тейлор и Фрэнсис . ISBN 978-0-415-39630-1 .
^ Зио, Э.; Педрони, Н. (2011). «Как эффективно рассчитать надежность теплогидравлической ядерной пассивной системы». Ядерная инженерия и дизайн . 241 : 310–327. CiteSeerX 10.1.1.636.2126 . дои : 10.1016/j.nucengdes.2010.10.029 . S2CID 53677748 .

[1] Ау, СК; Бек, Джеймс Л. (октябрь 2001 г.). «Оценка вероятности небольших отказов в больших размерностях путем подмножества моделирования». Вероятностная инженерная механика . 16 (4): 263–277. CiteSeerX 10.1.1.131.1941 . дои : 10.1016/S0266-8920(01)00019-4 .

[ZioPedroni2009-2] Зио, Э; Педрони, Н. (2009). «Моделирование подмножества и выборка линий для расширенного анализа надежности Монте-Карло». Надежность, риск и безопасность (PDF) . дои : 10.1201/9780203859759.ch94 . ISBN 978-0-415-55509-8 . S2CID 9845287 .

[3] Ау, Сиу-Куй (2016). «Об алгоритме MCMC для подмножественного моделирования». Вероятностная инженерная механика . 43 : 117–120. дои : 10.1016/j.probengmech.2015.12.003 .

[4] Ау, Сиу-Куй; Пателли, Эдоардо (2016). «Моделирование редких событий в конечно-бесконечномерном пространстве» (PDF) . Проектирование надежности и системная безопасность . 148 : 67–77. дои : 10.1016/j.ress.2015.11.012 .

[wsc1994-5] Виллен-Альтамирано, Мануэль; Виллен-Альтамирано, Хосе (1994). «Перезапуск: простой метод быстрого моделирования редких событий» . Написано в Сан-Диего, Калифорния, США. Материалы 26-й Зимней симуляционной конференции . ВСК '94. Орландо, Флорида, США: Международное общество компьютерного моделирования. стр. 282–289 . ISBN 0-7803-2109-Х . акмид 194044.

[6] Ботев З.И.; Крозе, Д.П. (2008). «Эффективный алгоритм оценки вероятности редких событий, комбинаторной оптимизации и подсчета». Методология и вычисления в прикладной теории вероятности . 10 (4): 471–505. CiteSeerX 10.1.1.399.7912 . дои : 10.1007/s11009-008-9073-7 . S2CID 1147040 .

[7] Ботев З.И.; Крозе, Д.П. (2012). «Эффективное моделирование Монте-Карло с помощью обобщенного метода расщепления». Статистика и вычисления . 22 (1): 1–16. дои : 10.1007/s11222-010-9201-4 . S2CID 14970946 .

[8] Ботев З.И.; Л'Экуйер, П. (2020). «Условная выборка по редкому событию посредством обобщенного разделения». ИНФОРМС Журнал по вычислительной технике . arXiv : 1909.03566 . дои : 10.1287/ijoc.2019.0936 . S2CID 202540190 .

[AuWang-9] Ау, СК; Ван, Ю. (2014). Оценка инженерных рисков с помощью подмножества моделирования . Сингапур: Джон Вили и сыновья . ISBN 978-1-118-39804-3 .

[Schueller-10] Шуэллер, Г.И.; Прадлвартер, HJ (2007). «Эталонное исследование по оценке надежности в высших измерениях структурных систем - обзор». Структурная безопасность . 29 (3): 167–182. doi : 10.1016/j.strusafe.2006.07.010 .

[Phoon-11] Фун, К.К. (2008). Надежное проектирование в геотехнической инженерии: расчеты и приложения . Сингапур: Тейлор и Фрэнсис . ISBN 978-0-415-39630-1 .

[Zio-12] Зио, Э.; Педрони, Н. (2011). «Как эффективно рассчитать надежность теплогидравлической ядерной пассивной системы». Ядерная инженерия и дизайн . 241 : 310–327. CiteSeerX 10.1.1.636.2126 . дои : 10.1016/j.nucengdes.2010.10.029 . S2CID 53677748 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]