Мембранная аналогия
Аналогия с эластичной мембраной , также известная как аналогия с мыльной пленкой , была впервые опубликована новатором в области аэродинамики Людвигом Прандтлем в 1903 году. [1] [2] Он описывает распределение напряжений на длинном стержне при кручении . Поперечное сечение стержня является постоянным по всей его длине и не обязательно должно быть круглым. , Дифференциальное уравнение определяющее распределение напряжения на стержне при кручении, имеет ту же форму, что и уравнение, определяющее форму мембраны под действием перепада давления. Поэтому, чтобы обнаружить распределение напряжений на стержне, достаточно вырезать из куска дерева форму поперечного сечения, покрыть его мыльной пленкой и приложить к нему перепад давления. Тогда наклон мыльной пленки на любом участке сечения прямо пропорционален напряжению в стержне в этой же точке его сечения.
Применение для тонкостенных открытых сечений
[ редактировать ]Хотя аналогия с мембраной позволяет определить распределение напряжений в любом поперечном сечении экспериментально, она также позволяет определить распределение напряжений в тонкостенных открытых сечениях с помощью того же теоретического подхода, который описывает поведение прямоугольных сечений. Используя аналогию с мембраной, любое тонкостенное поперечное сечение можно «растянуть» в прямоугольник, не влияя на распределение напряжений при кручении. Таким образом, максимальное касательное напряжение возникает на краю средней точки растянутого сечения и равно , где T — приложенный крутящий момент , b — длина растянутого поперечного сечения, а t — толщина поперечного сечения.
Можно показать, что дифференциальное уравнение для прогибающей поверхности однородной мембраны, находящейся под однородным боковым давлением, с однородным поверхностным натяжением и с тем же контуром, что и поперечное сечение стержня при кручении , имеет тот же вид, что и уравнение определяющее распределение напряжений по поперечному сечению стержня при кручении .
Эту аналогию первоначально предложил Людвиг Прандтль в 1903 году. [3]
Другие приложения
[ редактировать ]Концепция Прандтля натянутой мембраны широко использовалась в области проектирования электронных ламп («вакуумных ламп») (1930-1960-е годы) для моделирования траектории электронов внутри устройства. Модель создается путем равномерного натягивания тонкого резинового листа на каркас и деформации листа вверх с помощью физических моделей электродов, вдавленных в лист снизу. Вся сборка наклоняется, а стальные шарики (как электронные аналоги) катятся по сборке и отмечают траектории. Искривленная поверхность, окружающая «электроды», представляет собой комплексное увеличение напряженности поля по мере приближения электронного аналога к «электроду»; Искажение листа вверх является близкой аналогией напряженности поля.
Ссылки
[ редактировать ]- Брюн, Элмер Франклин (1973). Анализ и проектирование конструкций летательных аппаратов . Индианаполис: Издательство Джейкобс. ISBN 0-9615234-0-9 .
- Любовь, АЭХ (1944). Трактат по математической теории упругости . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-60174-9 . . Особенно глава XIV, статьи с 215 по 224. «Это дуврское издание, впервые опубликованное в 1944 году, представляет собой неизмененное и полное переиздание четвертого (1927 года) издания».
- Достижения в области электроники Том 2 . 1950. с. 141.