Условие Прандтля

В механике жидкости условие Прандтля было предложено немецким физиком Людвигом Прандтлем для определения возможных пограничного слоя точек отрыва потоков несжимаемой жидкости .

Состояние Прандтля – нормальный шок.

В случае нормального скачка предполагается, что поток находится в установившемся состоянии, а толщина скачка очень мала. Далее предполагается, что при ударе нет ни трения, ни тепловых потерь (поскольку теплообмен незначителен, поскольку происходит на относительно небольшой поверхности). В этом поле принято обозначать x как входное состояние, а y как нисходящее состояние.Поскольку массовый расход с обеих сторон скачка скачка постоянен, баланс масс становится равным

$\rho _{x}.U_{x}=\rho _{y}.U_{y}$

Поскольку внешняя сила не приложена, импульс сохраняется. Что приводит к уравнению

$P_{x}-P_{y}=\rho _{x}.U_{x}^{2}-\rho _{y}.U{y}^{2}$

Поскольку тепловой поток незначителен, процесс можно рассматривать как адиабатический. Таким образом, уравнение энергии будет иметь вид

$C_{p}.T_{x}+{\frac {U_{x}^{2}}{2}}=C_{p}.T_{y}+{\frac {U_{y}^{2}}{2}}$

Из уравнения состояния идеального газа:P=ρRT

Поскольку температура с обеих сторон ударной волны прерывистая, скорость звука в этих прилегающих средах различна. Поэтому удобно определить число Маха звезды, которое будет независимым от конкретного числа Маха. В звездном состоянии скорость звука в критическом состоянии также может быть хорошей эталонной скоростью. Скорость звука при этой температуре равна

$c^{*}={\sqrt {kRT^{*}}}$

А дополнительное число Маха, не зависящее от конкретного числа Маха, равно:

$M^{*}={\frac {U}{c^{*}}}={\frac {cM}{c^{*}}}$

Поскольку энергия остается постоянной во время удара,

${\frac {c^{2}}{k-1}}+{\frac {U^{2}}{2}}={\frac {c^{*^{2}}}{k-1}}+{\frac {c^{*^{2}}}{2}}={\frac {(k+1)c^{*^{2}}}{2(k-1)}}$

разделив уравнение массы на уравнение количества движения, получим

${\frac {c_{1}^{2}}{kU_{1}}}+U_{1}={\frac {c_{2}^{2}}{kU_{2}}}+U_{2}$

Из приведенных выше уравнений

${\frac {1}{kU_{1}}}[{\frac {(k+1)c^{*^{2}}}{2}}-{\frac {(k-1)U_{1}^{2}}{2}}]+U_{1}={\frac {1}{kU_{2}}}[{\frac {(k+1)c^{*^{2}}}{2}}-{\frac {(k-1)U_{2}^{2}}{2}}]+U_{2}$

это вызовет

$U_{1}.U_{2}=a^{*^{2}}$

Это называется состоянием Прандтля при нормальном шоке.