Метод второго момента первого порядка

В теории вероятностей метод второго момента первого порядка (FOSM) , также называемый методом среднего значения второго момента первого порядка (MVFOSM) , представляет собой вероятностный метод определения стохастических моментов функции со случайными входными переменными. Название основано на выводе, в котором используется первого порядка ряд Тейлора и первый и второй моменты входных переменных.

Приближение

Рассмотрим целевую функцию $g(x)$, где входной вектор $x$ является реализацией случайного вектора $X$ с функцией плотности вероятности $f_{X}(x)$. Потому что $X$ распределяется случайным образом, $g$ также распределяется случайным образом. Согласно методу FOSM, значение среднее $g$ аппроксимируется

$\mu _{g}\approx g(\mu )$

Дисперсия ​ ​ $g$ аппроксимируется

$\sigma _{g}^{2}\approx \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}\operatorname {cov} \left(X_{i},X_{j}\right)$

где $n$ длина/размер $x$ и ${\textstyle {\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}}$ является частной производной $g$ на среднем векторе $\mu$ относительно i -й записи $x$. Также доступны более точные аппроксимации второго момента второго порядка.

Вывод

Целевая функция аппроксимируется рядом Тейлора по среднему вектору $\mu$.

$g(x)=g(\mu )+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}g(\mu )}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x_{i}-\mu _{i})(x_{j}-\mu _{j})+\cdots$

Среднее значение $g$ определяется интегралом

$\mu _{g}=E[g(x)]=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx$

Вставка ряда Тейлора первого порядка дает

${\begin{aligned}\mu _{g}&\approx \int _{-\infty }^{\infty }\left[g(\mu )+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})\right]f_{X}(x)\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }g(\mu )f_{X}(x)\,dx+\int _{-\infty }^{\infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx\\&=g(\mu )\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx} _{1}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx} _{0}\\&=g(\mu ).\end{aligned}}$

Дисперсия $g$ определяется интегралом

$\sigma _{g}^{2}=E\left([g(x)-\mu _{g}]^{2}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }[g(x)-\mu _{g}]^{2}f_{X}(x)\,dx.$

Согласно формуле расчета дисперсии это можно записать как

$\sigma _{g}^{2}=E\left([g(x)-\mu _{g}]^{2}\right)=E\left(g(x)^{2}\right)-\mu _{g}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)^{2}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}$

Вставка ряда Тейлора дает

${\begin{aligned}\sigma _{g}^{2}&\approx \int _{-\infty }^{\infty }\left[g(\mu )+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})\right]^{2}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left\{g(\mu )^{2}+2g_{\mu }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})+\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})\right]^{2}\right\}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }g(\mu )^{2}f_{X}(x)\,dx+\int _{-\infty }^{\infty }2\,g_{\mu }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx\\&\quad {}+\int _{-\infty }^{\infty }\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})\right]^{2}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=g_{\mu }^{2}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx} _{1}+2g_{\mu }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx} _{0}\\&\quad {}+\int _{-\infty }^{\infty }\left[\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}(x_{i}-\mu _{i})(x_{j}-\mu _{j})\right]f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=\underbrace {g(\mu )^{2}} _{\mu _{g}^{2}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }(x_{i}-\mu _{i})(x_{j}-\mu _{j})f_{X}(x)\,dx} _{\operatorname {cov} \left(X_{i},X_{j}\right)}-\mu _{g}^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}\operatorname {cov} \left(X_{i},X_{j}\right).\end{aligned}}$

Подходы высшего порядка

Введены следующие сокращения.

${\begin{aligned}g_{\mu }&=g(\mu ),&g_{,i}&={\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}},&g_{,ij}&={\frac {\partial ^{2}g(\mu )}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}},&\mu _{i,j}&=E\left[(x_{i}-\mu _{i})^{j}\right]\end{aligned}}$

Далее элементы случайного вектора $X$ считаются независимыми. Учитывая также члены второго порядка разложения Тейлора, аппроксимация среднего значения определяется выражением

$\mu _{g}\approx g_{\mu }+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}g_{,ii}\;\mu _{i,2}$

Аппроксимация дисперсии второго порядка определяется выражением

${\begin{aligned}\sigma _{g}^{2}\approx {}g_{\mu }^{2}&+\sum _{i=1}^{n}g_{,i}^{2}\,\mu _{i,2}+{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{n}g_{,ii}^{2}\,\mu _{i,4}+g_{\mu }\sum _{i=1}^{n}g_{,ii}\,\mu _{i,2}+\sum _{i=1}^{n}g_{,i}\,g_{,ii}\,\mu _{i,3}\\&+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}g_{,ii}\,g_{,jj}\,\mu _{i,2}\,\mu _{j,2}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}g_{,ij}^{2}\,\mu _{i,2}\,\mu _{j,2}-\mu _{g}^{2}\end{aligned}}$

асимметрия ​ ​ $g$ можно определить по третьему центральному моменту $\mu _{g,3}$. При рассмотрении только линейных членов ряда Тейлора, но моментов более высокого порядка, третий центральный момент аппроксимируется выражением

$\mu _{g,3}\approx \sum _{i=1}^{n}g_{,i}^{3}\;\mu _{i,3}$

Приближения второго порядка третьего центрального момента, а также вывод всех приближений более высокого порядка см. в Приложении D к работе [10]. Учет квадратичных членов ряда Тейлора и третьих моментов входных переменных называется методом третьего момента второго порядка. Однако полный дисперсионный подход второго порядка (приведенный выше) также включает моменты четвертого порядка входных параметров: полный подход второго порядка моментов асимметрии 6-го порядка, и полный эксцесс второго порядка до моментов 8-го порядка.

Практическое применение

В литературе есть несколько примеров, когда метод FOSM используется для оценки стохастического распределения нагрузки, вызывающей выпучивание осевых сжатых конструкций (см., например, работу 1). ). Для конструкций, которые очень чувствительны к отклонениям от идеальной конструкции (например, цилиндрических оболочек), в качестве подхода к проектированию было предложено использовать метод FOSM. Часто применимость проверяют сравнением с моделированием Монте-Карло . Два комплексных примера применения полного метода второго порядка, специально ориентированного на рост усталостных трещин в металлической железнодорожной оси, обсуждаются и проверяются сравнением с моделированием Монте-Карло в работе.

В инженерной практике целевая функция часто задается не в виде аналитического выражения, а, например, в результате моделирования методом конечных элементов . Тогда производные целевой функции необходимо оценить методом центральных разностей . Количество оценок целевой функции равно $2n+1$. В зависимости от количества случайных величин это все равно может означать значительно меньшее количество оценок, чем выполнение моделирования Монте-Карло. Однако при использовании метода FOSM в качестве процедуры расчета необходимо оценить нижнюю границу, которая фактически не дается методом FOSM. Следовательно, для распределения целевой функции необходимо предположить тип распределения с учетом аппроксимированного среднего значения и стандартного отклонения.