Лежандровый момент

В математике моменты Лежандра представляют собой тип момента изображения и достигаются с помощью полинома Лежандра . Моменты Лежандра используются в таких областях обработки изображений, как: распознавание образов и объектов, индексирование изображений, подгонка линий, извлечение признаков, обнаружение краев и анализ текстур. Моменты Лежандра изучались как средство уменьшения сложности расчета момента изображения за счет ограничения количества избыточной информации посредством аппроксимации.

Лежандровые моменты

С порядком m + n и функцией интенсивности объекта f ( x , y ):

$L_{mn}={\frac {(2m+1)(2n+1)}{4}}\int \limits _{-1}^{1}\int \limits _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(y)f(x,y)\,dx\,dy$

где m , n = 1, 2, 3, ... ∞ с полиномами Лежандра n -го порядка:

$P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k,n}x^{k}={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}\left({\frac {d}{dx}}\right)[(1-x^{2})^{n}]$

что также можно написать:

${\begin{aligned}P_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{D(n)}(-1)^{k}{\frac {(2n-2k)!}{2^{n}k!(n-k)!(n-2k)!}}x^{n-2k}\\[5pt]&={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}x^{n}-{\frac {(2n-2)!}{2^{n}1!(n-1)!(n-2)!}}x^{n-2}+\cdots \end{aligned}}$

где D ( n ) = пол( n /2). Набор полиномов Лежандра { P _n ( x )} образует ортогональный набор на интервале [−1,1]:

$\int _{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{nm}$

Рекуррентное соотношение можно использовать для вычисления полинома Лежандра:

$(n+1)P_{n+1}(x)-(2n+1)xP_{n}(x)+nP_{n-1}(x)=0$

f ( x , y ) можно записать как разложение в бесконечный ряд по полиномам Лежандра [−1 ≤ x , y ≤ 1.]:

$f(x,y)=\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{mn}P_{m}(x)P_{n}(y)$

См. также

• Момент изображения
• Полином Лежандра
• Полиномы Цернике