Лемма Хатуса

В теории управления и, в частности, при изучении свойств линейной, инвариантной во времени системы в форме пространства состояний , лемма Хаутуса (в честь Мало Л. Дж. Хаутуса), также широко известная как тест Попова-Белевича-Хаутуса или тест PBH , может оказаться мощным инструментом.

Частный случай этого результата впервые появился в 1963 году в статье Элмера Гилберта : и позже был расширен до текущего теста PHB при участии Василе М. Попова в 1966 году. Витольд Белевич в 1968 году. и Мало Хаутус в 1969 году, который подчеркнул его применимость для доказательства результатов для линейных стационарных систем.

Заявление

Существует несколько форм леммы:

Лемма Хаутуса об управляемости.

Лемма Хаутуса об управляемости гласит, что для квадратной матрицы $\mathbf {A} \in M_{n}(\Re )$ и $\mathbf {B} \in M_{n\times m}(\Re )$ следующие эквивалентны:

1. Пара $(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )$ контролируемый ​
2. Для всех $\lambda \in \mathbb {C}$ он утверждает, что $\operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n$
3. Для всех $\lambda \in \mathbb {C}$ которые являются собственными значениями $\mathbf {A}$ он утверждает, что $\operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n$

Лемма Хаутуса о стабилизируемости

Лемма Хаутуса о стабилизируемости гласит, что для квадратной матрицы $\mathbf {A} \in M_{n}(\Re )$ и $\mathbf {B} \in M_{n\times m}(\Re )$ следующие эквивалентны:

1. Пара $(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )$ стабилизируется ​
2. Для всех $\lambda \in \mathbb {C}$ которые являются собственными значениями $\mathbf {A}$ и для чего $\Re (\lambda )\geq 0$ он утверждает, что $\operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n$

Лемма Хаутуса о наблюдаемости

Лемма Хаутуса о наблюдаемости гласит, что для квадратной матрицы $\mathbf {A} \in M_{n}(\Re )$ и $\mathbf {C} \in M_{m\times n}(\Re )$ следующие эквивалентны:

1. Пара $(\mathbf {A} ,\mathbf {C} )$ является наблюдаемым.
2. Для всех $\lambda \in \mathbb {C}$ он утверждает, что $\operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ;\mathbf {C} ]=n$
3. Для всех $\lambda \in \mathbb {C}$ которые являются собственными значениями $\mathbf {A}$ он утверждает, что $\operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ;\mathbf {C} ]=n$

Лемма Хаутуса об обнаруживаемости

Лемма Хаутуса об обнаруживаемости гласит, что для квадратной матрицы $\mathbf {A} \in M_{n}(\Re )$ и $\mathbf {C} \in M_{m\times n}(\Re )$ следующие эквивалентны:

1. Пара $(\mathbf {A} ,\mathbf {C} )$ обнаруживается ​
2. Для всех $\lambda \in \mathbb {C}$ которые являются собственными значениями $\mathbf {A}$ и для чего $\Re (\lambda )\geq 0$ он утверждает, что $\operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ;\mathbf {C} ]=n$

Ссылки

• Зонтаг, Эдуард Д. (1998). Математическая теория управления: детерминированные конечномерные системы . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-98489-5 .
• Забчик, Ежи (1995). Математическая теория управления – Введение . Бостон: Биркхаузер. ISBN  3-7643-3645-5 .