Теорема Витали – Каратеодори.

В математике теорема Витали – Каратеодори является результатом реального анализа , который показывает, что при условиях, изложенных ниже, интегрируемые функции могут быть аппроксимированы в L ¹ сверху и снизу полунепрерывными снизу и сверху функциями соответственно. Он назван в честь Джузеппе Витали и Константина Каратеодори .

Формулировка теоремы

Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство , снабженное борелевской мерой µ, которая конечна на каждом компакте , внешне регулярна и узка , когда ограничена любым борелевским множеством, которое открыто или имеет конечную массу. Если f является элементом L ¹ (μ) тогда для любого ε > 0 существуют функции u и v на X такие, что u ⩽ f ⩽ v , u полунепрерывна сверху и ограничена сверху, v полунепрерывна снизу и ограничена снизу, и

$\int _{X}(v-u)\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon .$

Ссылки

• Рудин, Уолтер (1986). Реальный и комплексный анализ (третье изд.). МакГроу-Хилл. стр. 56–57. ISBN  978-0-07-054234-1 .