Омега-функция Райта

Омега-функция Райта вдоль части вещественной оси

В математике омега- функция Райта или функция Райта , Обозначаемый ω , определяется через функцию Ламберта W как:

$\omega (z)=W_{{\big \lceil }{\frac {\mathrm {Im} (z)-\pi }{2\pi }}{\big \rceil }}(e^{z}).$

Использование

Одним из основных применений этой функции является решение уравнения z = ln( z ), поскольку единственное решение дается z = e ^{-ω( π   я )} .

y = ω( z ) — единственное решение, когда $z\neq x\pm i\pi$ для x ≤ −1 уравнения y + ln( y ) = z . За исключением этих двух значений, омега-функция Райта является непрерывной и даже аналитической .

Характеристики

Омега-функция Райта удовлетворяет соотношению $W_{k}(z)=\omega (\ln(z)+2\pi ik)$.

Он также удовлетворяет дифференциальному уравнению

${\frac {d\omega }{dz}}={\frac {\omega }{1+\omega }}$

где ω аналитична (в этом можно убедиться, выполнив разделение переменных и восстановив уравнение $\ln(\omega )+\omega =z$), и, как следствие, его интеграл можно выразить как:

$\int w^{n}\,dz={\begin{cases}{\frac {\omega ^{n+1}-1}{n+1}}+{\frac {\omega ^{n}}{n}}&{\mbox{if }}n\neq -1,\\\ln(\omega )-{\frac {1}{\omega }}&{\mbox{if }}n=-1.\end{cases}}$

Это серия Тейлора вокруг точки $a=\omega _{a}+\ln(\omega _{a})$ принимает форму:

$\omega (z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {q_{n}(\omega _{a})}{(1+\omega _{a})^{2n-1}}}{\frac {(z-a)^{n}}{n!}}$

где

$q_{n}(w)=\sum _{k=0}^{n-1}{\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }(-1)^{k}w^{k+1}$

в котором

${\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }$

— эйлерово число второго порядка .

Ценности

${\begin{array}{lll}\omega (0)&=W_{0}(1)&\approx 0.56714\\\omega (1)&=1&\\\omega (-1\pm i\pi )&=-1&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)+i\pi )&=-{\frac {1}{3}}&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)-i\pi )&=W_{-1}\left(-{\frac {1}{3}}e^{-{\frac {1}{3}}}\right)&\approx -2.237147028\\\end{array}}$

Участки

• Графики омега-функции Райта на комплексной плоскости
• 
  z знак равно Re( ω ( Икс + я y ))
• 
  z знак равно Im( ω ( Икс + я y ))
• 
  ω ( Икс + я y )

Ссылки

• «О функции Райта ω», Роберт Корлесс и Дэвид Джеффри.