Хвосты подготовлены

В теории кодирования образуют коды Препараты класс нелинейных кодов, исправляющих двойные ошибки . Они названы в честь Франко П. Препараты , который впервые описал их в 1968 году.

нелинейны по GF(2), Хотя коды Препараты они линейны по Z ₄ с расстоянием Ли .

Строительство

Пусть m — нечетное число и $n=2^{m}-1$. Опишем сначала расширенный код Препараты длины $2n+2=2^{m+1}$: код препарата получается путем удаления одной позиции. Слова расширенного кода рассматриваются как пары ( X , Y ) из 2 ^м -кортежи, каждый из которых соответствует подмножеству конечного поля GF(2 ^м ) каким-то фиксированным способом.

Расширенный код содержит слова ( X , Y ), удовлетворяющие трем условиям

1. X , Y имеют четный вес;
2. $\sum _{x\in X}x=\sum _{y\in Y}y;$
3. $\sum _{x\in X}x^{3}+\left(\sum _{x\in X}x\right)^{3}=\sum _{y\in Y}y^{3}.$

Код Препараты получается удалением позиции в X, соответствующей 0 в GF(2 ^м ).

Характеристики

Код Препараты имеет длину 2. ^{м +1} − 1, размер 2 ^к где к = 2 ^{м + 1} − 2 м − 2 и минимальное расстояние 5.

Когда m = 3, код Препараты длины 15 также называется кодом Нордстрома – Робинсона .

Ссылки

• Ф.П. Препарата (1968). «Класс оптимальных нелинейных кодов, исправляющих двойные ошибки» . Информация и контроль . 13 (4): 378–400. дои : 10.1016/S0019-9958(68)90874-7 . hdl : 2142/74662 .
• Дж. Х. ван Линт (1992). Введение в теорию кодирования . ГТМ . Том. 86 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. стр. 111–113 . ISBN  3-540-54894-7 .
• http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Preparata_code
• http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Kerdock_and_Preparata_codes