Теорема о малом выигрыше

Обратная связь между системами _S1 и _S2 .

В нелинейных системах формализм устойчивости ввода-вывода является важным инструментом изучения устойчивости взаимосвязанных систем, поскольку коэффициент усиления системы напрямую связан с тем, как норма сигнала увеличивается или уменьшается по мере прохождения через систему. Теорема о малом выигрыше дает достаточное условие для конечного выигрыша. ${\mathcal {L}}$ стабильность обратной связи. Теорема о малом выигрыше была доказана Джорджем Зеймом в 1966 году. Ее можно рассматривать как обобщение критерия Найквиста на нелинейные, изменяющиеся во времени системы MIMO (системы с несколькими входами и несколькими выходами).

Теорема . Предположим, две стабильные системы $S_{1}$ и $S_{2}$ соединены в петлю обратной связи, то замкнутая система является устойчивой по вводу-выводу, если $\|S_{1}\|\cdot \|S_{2}\|<1$ и оба $S_{1}$ и $S_{2}$ стабильны сами по себе. (Эта норма обычно ${\mathcal {H}}_{\infty }$-norm — размер наибольшего сингулярного значения передаточной функции по всем частотам. Любая индуцированная Норма также приведет к тем же результатам).

Ссылки

• Х.К. Халил, Нелинейные системы, третье издание, Прентис-Холл, Аппер-Сэддл-Ривер, Нью-Джерси, 2002 г.;
• К. А. Десоер, М. Видьясагар, Системы обратной связи: свойства ввода-вывода, второе издание, SIAM, 2009.

См. также

• Стабильность входа в состояние