Стабильность входа в состояние

Стабильность входа в состояние (ISS) — понятие устойчивости, широко используемое для изучения устойчивости нелинейных систем управления с внешними воздействиями. Грубо говоря, система управления является ИСС, если она глобально асимптотически устойчива в отсутствие внешних воздействий и если ее траектории ограничены функцией размера воздействия для всех достаточно больших времен.Важность ISS обусловлена ​​тем, что эта концепция преодолела разрыв между методами ввода-вывода и методами пространства состояний , широко используемыми в сообществе систем управления.

ИКС объединила теории Ляпунова и теории устойчивости ввода-вывода и произвела революцию в наших взглядах на стабилизацию нелинейных систем, проектирование робастных нелинейных наблюдателей , устойчивость нелинейных взаимосвязанных систем управления, теорию нелинейной обнаруживаемости и диспетчерское адаптивное управление. Это сделало ISS доминирующей парадигмой устойчивости в теории нелинейного управления с такими разнообразными приложениями, как робототехника, мехатроника, системная биология, электротехника и аэрокосмическая техника, и это лишь некоторые из них.

Понятие ISS было введено для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, Эдуардо Зонтагом в 1989 году.

С тех пор эта концепция успешно использовалась для многих других классов систем управления, включая системы, управляемые уравнениями в частных производных, системы с запаздыванием, гибридные системы и т. Д.

Определение

Рассмотрим стационарную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

${\dot {x}}=f(x,u),\ x(t)\in \mathbb {R} ^{n},$ ( 1 )

где $u:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ^{m}$ является измеримым по Лебегу существенно ограниченным внешним входом и $f$ — липшицева функция, непрерывная по первому аргументу, равномерно по второму. Это обеспечивает существование единственного абсолютно непрерывного решения системы ( 1 ).

Чтобы определить ISS и связанные с ним свойства, мы используем следующие классы функций сравнения . Обозначим через ${\mathcal {K}}$ набор непрерывных возрастающих функций $\gamma :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}$ с $\gamma (0)=0$ и ${\mathcal {L}}$ множество непрерывных строго убывающих функций $\gamma :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}$ с $\lim _{r\to \infty }\gamma (r)=0$. Тогда мы можем обозначить $\beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}$ как функции, где $\beta (\cdot ,t)\in {\mathcal {K}}$ для всех $t\geq 0$ и $\beta (r,\cdot )\in {\mathcal {L}}$ для всех $r>0$.

Система ( 1 ) называется глобально асимптотически устойчивой в нуле (0-GAS), если соответствующая система с нулевым входом

${\dot {x}}=f(x,0),\ x(t)\in \mathbb {R} ^{n},$ ( Без входов )

глобально асимптотически устойчива , то есть существуют $\beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}$ так что для всех начальных значений $x_{0}$ и все времена $t\geq 0$ следующая оценка справедлива для решений ( WithoutInputs )

$|x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t).$ ( ГАЗ-Оценка )

Система ( 1 ) называется стабильной по входу в состояние (ISS), если существуют функции $\gamma \in {\mathcal {K}}$ и $\beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}$ так что для всех начальных значений $x_{0}$, все допустимые входы $u$ и все времена $t\geq 0$ имеет место следующее неравенство

$|x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\gamma (\|u\|_{\infty }).$ ( 2 )

Функция $\gamma$ в приведенном выше неравенстве называется выигрышем .

Очевидно, что система ISS является 0-GAS, а также стабильной по BIBO (если мы положим выходной сигнал равным состоянию системы). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Можно также доказать, что если $\lim _{t\rightarrow \infty }|u(t)|=0$, затем $\lim _{t\rightarrow \infty }|x(t)|=0$.

стабильности входа в

Для понимания ИКС большое значение имеют ее переформулировки с точки зрения других свойств устойчивости.

Система ( 1 ) называется глобально устойчивой (ГС), если существуют $\gamma ,\sigma \in {\mathcal {K}}$ такой, что $\forall x_{0}$, $\forall u$ и $\forall t\geq 0$ он утверждает, что

$|x(t)|\leq \sigma (|x_{0}|)+\gamma (\|u\|_{\infty }).$ ( ГС )

Система ( 1 ) удовлетворяет свойству асимптотического усиления (AG), если существует $\gamma \in {\mathcal {K}}$: $\forall x_{0}$, $\forall u$ он утверждает, что

$\limsup _{t\to \infty }|x(t)|\leq \gamma (\|u\|_{\infty }).$ ( АГ )

Следующие утверждения эквивалентны для достаточно регулярной правой части $f$

1. ( 1 ) — МКС

2. ( 1 ) является GS и обладает свойством AG.

3. ( 1 ) является 0-ГАС и обладает свойством AG.

Доказательство этого результата, а также многих других характеристик ISS можно найти в статьях. и. Другие характеристики ISS, действительные при очень мягких ограничениях на регулярность правой стороны. $f$ и применимы к более общим бесконечномерным системам.

Функции МКС-Ляпунова

Основная статья: Функция ИКС-Ляпунова

Важным инструментом проверки ИКС являются функции ИКС-Ляпунова .

Плавная функция $V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}$ называется функцией ИСС-Ляпунова для ( 1 ), если $\exists \psi _{1},\psi _{2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }$, $\chi \in {\mathcal {K}}$ и положительно определенная функция $\alpha$, такой, что:

$\psi _{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi _{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}$

и $\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}$ он содержит:

$|x|\geq \chi (|u|)\ \Rightarrow \ \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),$

Функция $\chi$ называется усилением Ляпунова .

Если система ( 1 ) не имеет входов (т.е. $u\equiv 0$), то последнее импликация сводится к условию

$\nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),\ \forall x\neq 0,$

что говорит нам, что $V$ — «классическая» функция Ляпунова .

Важным результатом Э. Зонтаг и Ю. Ванга является то, что система ( 1 ) является ИСС тогда и только тогда, когда для нее существует гладкая функция ИСС-Ляпунова.

Примеры

Рассмотрим систему

${\dot {x}}=-x^{3}+ux^{2}.$

Определите кандидатную функцию ИКС-Ляпунова $V:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}$ к $V(x)={\frac {1}{2}}x^{2},\quad \forall x\in \mathbb {R} .$

${\dot {V}}(x)=\nabla V\cdot (-x^{3}+ux^{2})=-x^{4}+ux^{3}.$

Выберите усиление Ляпунова $\chi$ к

$\chi (r):={\frac {1}{1-\epsilon }}r$.

Тогда мы получаем, что для $x,u:\ |x|\geq \chi (|u|)$ оно держится

${\dot {V}}(x)\leq -|x|^{4}+(1-\epsilon )|x|^{4}=-\epsilon |x|^{4}.$

Это показывает, что $V$ — функция ИСС-Ляпунова для рассматриваемой системы с коэффициентом усиления Ляпунова $\chi$.

Взаимосвязь систем МКС

Одной из основных особенностей структуры ISS является возможность изучения свойств устойчивости взаимосвязей устойчивых систем «вход-состояние».

Рассмотрим систему, заданную

$\left\{{\begin{array}{l}{\dot {x}}_{i}=f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},u),\\i=1,\ldots ,n.\end{array}}\right.$ ( ВулСис )

Здесь $u\in L_{\infty }(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} ^{m})$, $x_{i}(t)\in \mathbb {R} ^{p_{i}}$ и $f_{i}$ непрерывны по Липшицу по $x_{i}$ равномерно по отношению к входам от $i$-я подсистема.

Для $i$-й подсистеме ( WholeSys ) определение функции ИКС-Ляпунова можно записать следующим образом.

Плавная функция $V_{i}:\mathbb {R} ^{p_{i}}\to \mathbb {R} _{+}$ — функция ИКС-Ляпунова (ИСС-ЛФ)для $i$-я подсистема ( WholeSys ), если она существуетфункции $\psi _{i1},\psi _{i2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }$, $\chi _{ij},\chi _{i}\in {\mathcal {K}}$, $j=1,\ldots ,n$, $j\neq i$, $\chi _{ii}:=0$ и положительно определённая функция $\alpha _{i}$, такой, что:

$\psi _{i1}(|x_{i}|)\leq V_{i}(x_{i})\leq \psi _{i2}(|x_{i}|),\quad \forall x_{i}\in \mathbb {R} ^{p_{i}}$

и $\forall x_{i}\in \mathbb {R} ^{p_{i}},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}$ оно держится

$V_{i}(x_{i})\geq \max\{\max _{j=1}^{n}\chi _{ij}(V_{j}(x_{j})),\chi _{i}(|u|)\}\ \Rightarrow \ \nabla V_{i}(x_{i})\cdot f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},u)\leq -\alpha _{i}(V_{i}(x_{i})).$

Каскадные соединения

Каскадные межсоединения представляют собой особый тип межсоединений, в котором динамика $i$-я подсистема не зависит от состояний подсистем $1,\ldots ,i-1$. Формально каскадное соединение можно записать как

$\left\{{\begin{array}{l}{\dot {x}}_{i}=f_{i}(x_{i},\ldots ,x_{n},u),\\i=1,\ldots ,n.\end{array}}\right.$

Если все подсистемы указанной системы являются ИКС, то и вся каскадная взаимосвязь также является ИКС.

В отличие от каскадов систем ИКС, каскадное соединение систем 0-ГАЗ в целом не является 0-ГАЗ. Следующий пример иллюстрирует этот факт. Рассмотрим систему, заданную формулой

$\left\{{\begin{array}{l}{\dot {x}}=-x+yx^{2},\\{\dot {y}}=-y.\end{array}}\right.$ ( Ex_GAS )

Обе подсистемы этой системы являются 0-ГАС, но для достаточно больших начальных состояний $(x_{0},y_{0})$ и в течение некоторого конечного времени $t^{*}$ оно держится $x(t)\to \infty$ для $t\to t^{*}$, т.е. система ( Ex_GAS ) имеет конечное время выхода и, следовательно, не является 0-GAS.

Обратная связь

Структура взаимосвязи подсистем характеризуется внутренними коэффициентами Ляпунова. $\chi _{ij}$. Вопрос, является ли межсоединение ( WholeSys ) ISS, зависит от свойств оператора усиления $\Gamma :\mathbb {R} _{+}^{n}\rightarrow \mathbb {R} _{+}^{n}$ определяется

$\Gamma (s):=\left(\max _{j=1}^{n}\chi _{1j}(s_{j}),\ldots ,\max _{j=1}^{n}\chi _{nj}(s_{j})\right),\ s\in \mathbb {R} _{+}^{n}.$

Следующая теорема о малом выигрыше устанавливает достаточное условие ИСС взаимосвязи систем ИКС. Позволять $V_{i}$ быть функцией ИКС-Ляпунова для $i$-я подсистема ( WholeSys ) с соответствующими усилениями $\chi _{ij}$, $i=1,\ldots ,n$. Если нелинейное условие малого коэффициента усиления

$\Gamma (s)\not \geq s,\ \forall \ s\in \mathbb {R} _{+}^{n}\backslash \left\{0\right\}$ ( СГК )

выполняется, то вся межсвязь — ИКС.

Условие малого выигрыша ( SGC ) выполняется тогда и только тогда, когда для каждого цикла в $\Gamma$ (это для всех $(k_{1},...,k_{p})\in \{1,...,n\}^{p}$, где $k_{1}=k_{p}$) и для всех $s>0$ оно держится

$\gamma _{k_{1}k_{2}}\circ \gamma _{k_{2}k_{3}}\circ \ldots \circ \gamma _{k_{p-1}k_{p}}(s)<s.$

Условие малого выигрыша в этой форме также называется циклическим условием малого выигрыша.

стабильности

Интегральная ИКС (iISS)

Основная статья: Интегральная стабильность ввода в состояние

Система ( 1 ) называется интегральной устойчивой по входу в состояние (ISS), если существуют функции $\alpha ,\gamma \in {\mathcal {K}}$ и $\beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}$ так что для всех начальных значений $x_{0}$, все допустимые входы $u$ и все времена $t\geq 0$ имеет место следующее неравенство

$\alpha (|x(t)|)\leq \beta (|x_{0}|,t)+\int _{0}^{t}\gamma (|u(s)|)ds.$ ( 3 )

В отличие от систем ISS, если система является целостной ISS, ее траектории могут быть неограниченными даже для ограниченных входов. Чтобы увидеть это, поставьте $\alpha (r)=\gamma (r)=r$ для всех $r\geq 0$ и возьми $u\equiv c=const$. Тогда оценка ( 3 ) примет вид

$|x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\int _{0}^{t}cds=\beta (|x_{0}|,t)+ct,$

а правая часть возрастает до бесконечности, так как $t\to \infty$.

Как и в рамках ISS, методы Ляпунова играют центральную роль в теории iISS.

Плавная функция $V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}$ называется функцией iISS-Ляпунова для ( 1 ), если $\exists \psi _{1},\psi _{2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }$, $\chi \in {\mathcal {K}}$ и положительно определенная функция $\alpha$, такой, что:

$\psi _{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi _{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}$

и $\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}$ он содержит:

${\dot {V}}=\nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|)+\gamma (|u|).$

Важным результатом Д. Анджели, Э. Зонтаг и Ю. Ванга является то, что система ( 1 ) является целочисленной ИСС тогда и только тогда, когда для нее существует функция ИИСС-Ляпунова.

Обратите внимание, что в формуле выше $\alpha$ предполагается только положительно определенным . Это можно легко доказать, что если $V$ представляет собой функцию iISS-Ляпунова с $\alpha \in {\mathcal {K}}_{\infty }$, затем $V$ на самом деле является функцией ИКС-Ляпунова для системы ( 1 ).

Это, в частности, показывает, что каждая система МКС является целостной МКС. Обратное утверждение неверно, как показывает следующий пример. Рассмотрим систему

${\dot {x}}=-\arctan {x}+u.$

Эта система не является МКС, поскольку при достаточно больших входных данных траектории не ограничены. Однако это интегральная ИСИ с функцией ИИСС-Ляпунова. $V$ определяется

$V(x)=x\arctan {x}.$

Местная МКС (ЛИСС)

Основная статья: Локальная стабильность ввода в состояние

Важную роль также играют локальные версии свойств МКС. Система ( 1 ) называется локально ИКС (ЛИСС), если существует константа $\rho >0$ и функции

$\gamma \in {\mathcal {K}}$ и $\beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}$ так что для всех $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}:\;|x_{0}|\leq \rho$, все допустимые входы $u:\|u\|_{\infty }\leq \rho$ и все времена $t\geq 0$ он утверждает, что

$|x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\gamma (\|u\|_{\infty }).$ ( 4 )

Интересное наблюдение: 0-GAS подразумевает LISS.

стабильности

Были введены многие другие понятия, связанные со стабильностью ISS: инкрементальная ISS, динамическая стабильность входного состояния (ISDS), Практическая стабильность ввода-вывода (ISpS), стабильность ввода-вывода (IOS) и т. д.

МКС систем задержки

Рассмотрим стационарную систему с задержкой

${\dot {x}}(t)=f(x^{t},u(t)),\quad t>0.$ ( ТДС )

Здесь $x^{t}\in C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})$ это состояние системы ( TDS ) в момент времени $t$, $x^{t}(\tau )=x(t+\tau ),\ \tau \in [-\theta ,0]$ и $f:C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})\times \mathbb {R} ^{m}$ удовлетворяет определенным предположениям, гарантирующим существование и единственность решений системы ( TDS ).

Система ( TDS ) является ISS тогда и только тогда, когда существуют функции $\beta \in {\mathcal {KL}}$ и $\gamma \in {\mathcal {K}}$ такой, что для каждого $\xi \in C(\left[-\theta ,0\right],\mathbb {R} ^{N})$, каждый допустимый вход $u$ и для всех $t\in \mathbb {R} _{+}$, он утверждает, что

$\left|x(t)\right|\leq \beta (\left\|\xi \right\|_{\left[-\theta ,0\right]},t)+\gamma (\left\|u\right\|_{\infty }).$ ( ИКС-ТДС )

В теории ИСС для систем с запаздыванием предложены два различных достаточных условия типа Ляпунова: через ИСС функции Ляпунова-Разумихина и функционалы И.С. Ляпунова-Красовского. Обратные теоремы Ляпунова для систем с запаздыванием см.

МКС других классов систем

Устойчивость по входу в состояние систем, основанных на стационарных обыкновенных дифференциальных уравнениях, представляет собой достаточно развитую теорию, см. недавнюю монографию. Однако теория ISS других классов систем также исследуется для нестационарных систем ОДУ. и гибридные системы . В последнее время также были предложены некоторые обобщения концепций ИКС на бесконечномерные системы.

Семинары и онлайн-

1. Онлайн-семинар: Стабильность ввода в состояние и ее приложения.

2. YouTube-канал на МКС