Гибридная система

Гибридная система — это динамическая система , которая демонстрирует как непрерывное, так и дискретное динамическое поведение — система, которая может как течь (описываемая дифференциальным уравнением ), так и прыгать (описываемая конечным автоматом или автоматом ). Часто термин «гибридная динамическая система» используется для отличия от гибридных систем, таких как те, которые сочетают в себе нейронные сети и нечеткую логику или электрические и механические приводные линии. Преимущество гибридной системы заключается в том, что она охватывает более широкий класс систем в своей структуре, что обеспечивает большую гибкость при моделировании динамических явлений.

В общем случае состояние гибридной системы определяется значениями непрерывных переменных и дискретного режима . Состояние изменяется либо непрерывно, в зависимости от состояния потока , либо дискретно, в соответствии с графом управления . Непрерывный поток разрешен до тех пор, пока выполняются так называемые инварианты , тогда как дискретные переходы могут происходить, как только заданные условия скачка выполняются . Дискретные переходы могут быть связаны с событиями .

Примеры

Гибридные системы использовались для моделирования нескольких киберфизических систем, в том числе физических систем с воздействием , логико-динамических контроллеров и даже перегрузок Интернета .

Прыгающий мяч

Каноническим примером гибридной системы является прыгающий мяч , физическая система с ударом. Здесь мяч (представленный как точечная масса) падает с начальной высоты и отскакивает от земли, рассеивая свою энергию при каждом отскоке. Мяч демонстрирует непрерывную динамику между каждым отскоком; однако, когда мяч ударяется о землю, его скорость претерпевает дискретное изменение, смоделированное после неупругого столкновения . Далее следует математическое описание прыгающего мяча. Позволять $x_{1}$ быть высотой мяча и $x_{2}$ быть скорость мяча. Гибридная система, описывающая мяч, выглядит следующим образом:

Когда $x\in C=\{x_{1}>0\}$, поток регулируется ${\dot {x}}_{1}=x_{2},{\dot {x}}_{2}=-g$,где $g$ это ускорение свободного падения. Эти уравнения утверждают, что когда мяч находится над землей, он притягивается к земле под действием силы тяжести.

Когда $x\in D=\{x_{1}=0\}$, прыжки регулируются $x_{1}^{+}=x_{1},x_{2}^{+}=-\gamma x_{2}$,где $0<\gamma <1$ является фактором диссипации. Это значит, что когда высота мяча равна нулю (он ударился о землю), его скорость меняется на противоположную и уменьшается в раз. $\gamma$. Фактически это описывает природу неупругого столкновения.

Прыгающий мяч — особенно интересная гибридная система, поскольку он демонстрирует поведение Зенона . Поведение Зенона имеет строгое математическое определение, но неформально его можно описать как систему, совершающую бесконечное количество прыжков за конечное время. В этом примере каждый раз, когда мяч отскакивает, он теряет энергию, делая последующие прыжки (удары о землю) все ближе и ближе друг к другу во времени.

Примечательно, что динамическая модель является полной тогда и только тогда, когда добавляется сила контакта между землей и мячом. Действительно, без сил невозможно правильно определить прыгающий мяч, и модель с механической точки зрения бессмысленна. Простейшая модель контакта, которая представляет взаимодействие между мячом и землей, — это отношение дополнительности между силой и расстоянием (зазором) между мячом и землей. Это написано как $0\leq \lambda \perp x_{1}\geq 0.$Такая модель контакта не включает в себя ни магнитные силы, ни эффекты склеивания. При наличии отношений дополнительности можно продолжать интегрировать систему после того, как воздействия накопились и исчезли: равновесие системы четко определяется как статическое равновесие шара на земле под действием силы тяжести, компенсируемой силой тяжести. контактная сила $\lambda$. Из базового выпуклого анализа также можно заметить, что отношение дополнительности можно эквивалентно переписать как включение в нормальный конус, так что динамика прыгающего мяча представляет собой дифференциальное включение в нормальный конус в выпуклое множество. См. главы 1, 2 и 3 в книге Акари-Брольято, цитируемой ниже (Springer LNACM 35, 2008). См. также другие ссылки по негладкой механике.

гибридных систем Проверка

Существуют подходы к автоматическому подтверждению свойств гибридных систем (например, некоторые из инструментов, упомянутых ниже). Распространенными методами доказательства безопасности гибридных систем являются вычисление множеств достижимости, уточнение абстракции и барьерные сертификаты .

Большинство задач проверки неразрешимы, делая невозможными общие алгоритмы проверки . Вместо этого инструменты анализируются на предмет их возможностей при решении эталонных задач. Возможная теоретическая характеристика этого — алгоритмы, которые успешно справляются с проверкой гибридных систем во всех устойчивых случаях. подразумевая, что многие проблемы гибридных систем, хотя и неразрешимы, но, по крайней мере, квазиразрешимы.

Другие подходы к моделированию

Можно разделить два основных подхода к моделированию гибридных систем: неявный и явный. Явный подход часто представлен гибридным автоматом , гибридной программой или гибридной сетью Петри . Неявный подход часто представлен защищенными уравнениями, что приводит к системам дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ), в которых активные уравнения могут изменяться, например, с помощью графа гибридных связей .

В качестве единого подхода к моделированию для анализа гибридных систем существует метод, основанный на формализме DEVS , в котором интеграторы дифференциальных уравнений квантуются в атомарные DEVS модели . Эти методы генерируют следы поведения системы в виде системы дискретных событий, которые отличаются от систем с дискретным временем. Подробное описание этого подхода можно найти в ссылках [Kofman2004] [CF2006] [Nutaro2010] и программном инструменте PowerDEVS .

Программные инструменты

Моделирование

• HyEQ Toolbox : решатель гибридной системы для MATLAB и Simulink
• PowerDEVS : универсальный инструмент для моделирования и симуляции DEVS (Discrete Event System), ориентированный на моделирование гибридных систем.

Доступность

• Ариадна : библиотека C++ для (численного строгого) анализа достижимости нелинейных гибридных систем.
• CORA : набор инструментов MATLAB для анализа достижимости киберфизических систем, включая гибридные системы.
• Flow* : инструмент для анализа достижимости нелинейных гибридных систем.
• HyCreate : инструмент для завышения достижимости гибридных автоматов.
• HyPro : библиотека C++ для представлений наборов состояний для анализа достижимости гибридных систем.
• JuliaReach : набор инструментов для достижимости на основе множеств.

Временная логика и другие проверки

• C2E2 : Верификатор нелинейной гибридной системы.
• HyTech : средство проверки моделей гибридных систем
• Hsolver : инструмент проверки гибридных систем.
• KeYmaera : средство доказательства теорем для гибридных систем
• PHAVer : верификатор многогранного гибридного автомата.
• S-TaLiRo : набор инструментов MATLAB для проверки гибридных систем относительно спецификаций временной логики.

Другой

• SCOTS : Инструмент для синтеза корректных по конструкции контроллеров для гибридных систем.
• SpaceEx : Государственный исследователь космоса

См. также

• Гибридный автомат
• Управление скользящим режимом
• Система переменной структуры
• Управление переменной структурой
• Совместный спектральный радиус
• Киберфизическая система
• Деревья поведения (искусственный интеллект, робототехника и управление)
• Скачковый процесс (в контексте вероятности ), пример (стохастической) гибридной системы с нулевой компонентой потока
• Кусочно-детерминированный марковский процесс (PDMP), пример (стохастической) гибридной системы и обобщение скачкообразного процесса
• Скачковая диффузия , пример (стохастической) гибридной системы и обобщение PDMP

Дальнейшее чтение

• Хенцингер, Томас А. (1996), «Теория гибридных автоматов», 11-й ежегодный симпозиум по логике в информатике (LICS) , IEEE Computer Society Press, стр. 278–292, заархивировано из оригинала 27 января 2010 г.
• Алур, Раджив; Куркубетис, Костас; Хальбвакс, Николас; Хензингер, Томас А.; Хо, Пей-Синь; Николлин, Ксавье; Оливеро, Альфредо; Сифакис, Джозеф; Йовин, Серджио (1995), «Алгоритмический анализ гибридных систем» , Theoretical Computer Science , 138 (1): 3–34, doi : 10.1016/0304-3975(94)00202-T , hdl : 1813/6241 , в архиве. из оригинала от 27 января 2010 г.
• Гебель, Рафаль; Санфеличе, Рикардо Г.; Тил, Эндрю Р. (2009), «Гибридные динамические системы», журнал IEEE Control Systems Magazine , 29 (2): 28–93, doi : 10.1109/MCS.2008.931718 , S2CID   46488751
• Акари, Винсент; Брольято, Бернар (2008), Численные методы для негладких динамических систем , Конспект лекций по прикладной и вычислительной механике, том. 35, номер домена : 10.1007/978-3-540-75392-6 , ISBN  978-3-540-75391-9
• [Кофман 2004] Кофман, Э. (2004), «Дискретно-событийное моделирование гибридных систем», SIAM Journal on Scientific Computing , 25 (5): 1771–1797, Bibcode : 2004SJSC...25.1771K , CiteSeerX   10.1.1.72.2475 , doi : 10.1137 /S1064827502418379
• [CF2006] Франсуа Э. Селье и Эрнесто Кофман (2006), Непрерывное системное моделирование (первое издание), Springer, ISBN  978-0-387-26102-7
• [Нутаро2010] Джеймс Нутаро (2010), Создание программного обеспечения для моделирования: теория, алгоритмы и приложения на C ++ (первое издание), Wiley
• Брольято, Бернар; Танвани, Анил (2020), «Динамические системы в сочетании с монотонными многозначными операторами: формализмы, приложения, корректность и стабильность» (PDF) , SIAM Review , 62 (1): 3–129, doi : 10.1137/18M1234795 , S2CID   212727046

Внешние ссылки

• Комитет IEEE CSS по гибридным системам