Функция сравнения

В прикладной математике функциями сравнения называют несколько классов непрерывных функций , которые используются в теории устойчивости для характеристики таких свойств устойчивости управляемых систем, как устойчивость по Ляпунову , равномерная асимптотическая устойчивость и т. д.

Позволять $C(X,Y)$ — пространство непрерывных функций, действующих из $X$ к $Y$. Наиболее важными классами функций сравнения являются:

${\begin{aligned}{\mathcal {P}}&:=\left\{\gamma \in C({\mathbb {R} }_{+},{\mathbb {R} }_{+}):\gamma (0)=0{\text{ and }}\gamma (r)>0{\text{ for }}r>0\right\}\\[4pt]{\mathcal {K}}&:=\left\{\gamma \in {\mathcal {P}}:\gamma {\text{ is strictly increasing}}\right\}\\[4pt]{\mathcal {K}}_{\infty }&:=\left\{\gamma \in {\mathcal {K}}:\gamma {\text{ is unbounded}}\right\}\\[4pt]{\mathcal {L}}&:=\{\gamma \in C({\mathbb {R} }_{+},{\mathbb {R} }_{+}):\gamma {\text{ is strictly decreasing with }}\lim _{t\rightarrow \infty }\gamma (t)=0\}\\[4pt]{\mathcal {KL}}&:=\left\{\beta \in C({\mathbb {R} }_{+}\times {\mathbb {R} }_{+},{\mathbb {R} }_{+}):\beta {\text{ is continuous, }}\beta (\cdot ,t)\in {\mathcal {K}},\ \forall t\geq 0,\ \beta (r,\cdot )\in {\mathcal {L}},\ \forall r>0\right\}\end{aligned}}$

Функции класса ${\mathcal {P}}$ называются также положительно определенными функциями .

Одно из наиболее важных свойств функций сравнения дает Зонтаг. ${\mathcal {KL}}$-Лемма, назван в честь Эдуардо Зонтаг . Там сказано, что для каждого $\beta \in {\mathcal {KL}}$ и любой $\lambda >0$ существуют $\alpha _{1},\alpha _{2}\in {\mathcal {K_{\infty }}}$:

$\alpha _{1}(\beta (s,t))\leq \alpha _{2}(s)e^{-\lambda t},\quad t,s\in \mathbb {R} _{+}.$

( 1 )

Многие другие полезные свойства функций сравнения можно найти в .

Функции сравнения в основном используются для получения количественных переформулировок свойств устойчивости, таких как устойчивость по Ляпунову, равномерная асимптотическая устойчивость и т. Д. Эти переформулировки часто более полезны, чем качественные определения свойств устойчивости, приведенные в $\varepsilon {\text{-}}\delta$ язык.

В качестве примера рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

${\dot {x}}=f(x),$

( 2 )

где $f:{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathbb {R} }^{n}$ Липшиц локально . Затем:

• ( 2 ) глобально устойчив тогда и только тогда, когда существует $\sigma \in {\mathcal {K_{\infty }}}$ так что для любого начального условия $x_{0}\in {\mathbb {R} }^{n}$ и для любого $t\geq 0$ он утверждает, что

$|x(t)|\leq \sigma (|x_{0}|).$

( 3 )

• ( 2 ) глобально асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда существует $\beta \in {\mathcal {KL}}$ так что для любого начального условия $x_{0}\in {\mathbb {R} }^{n}$ и для любого $t\geq 0$ он утверждает, что

$|x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t).$

( 4 )

Формализм функций сравнения широко используется в теории устойчивости входного состояния .