Оценщик Хорвица – Томпсона

В статистике оценщик Хорвица -Томпсона , названный в честь Дэниела Г. Хорвица и Донована Дж. Томпсона, ^{[ 1 ]} это метод оценки общего количества ^{[ 2 ]} и среднее значение псевдопопуляции в стратифицированной выборке путем применения взвешивания обратной вероятности для учета разницы в распределении выборки между собранными данными и целевой совокупностью. Оценка Хорвица-Томпсона часто применяется при анализе опросов и может использоваться для учета недостающих данных , а также многих источников неравных вероятностей отбора .

Метод

Формально пусть $Y_{i},i=1,2,\ldots ,n$ быть независимой выборкой из n из N ≥ n различных слоев с общим средним значением µ . Предположим далее, что $\pi _{i}$ — это вероятность включения того, что случайно выбранный индивидуум в суперпопуляции принадлежит i -му слою. Оценка суммы Хорвица – Томпсона определяется следующим образом: ^{[ 3 ]}^: 51

{\hat {Y}}_{HT}=\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}^{-1}Y_{i},

а оценка среднего значения Хорвица – Томпсона определяется выражением:

{\hat {\mu }}_{HT}=N^{-1}{\hat {Y}}_{HT}=N^{-1}\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}^{-1}Y_{i}.

В байесовской вероятностной модели $\pi _{i}$ считается доля особей в целевой популяции, принадлежащих к i -му слою. Следовательно, $\pi _{i}^{-1}Y_{i}$ можно рассматривать как оценку полной выборки лиц внутри i -го слоя. Оценщик Хорвица – Томпсона также может быть выражен как предел взвешенной выборки оценки повторной среднего значения. Его также можно рассматривать как частный случай подходов множественного вменения . ^{[ 4 ]}

Для постстратифицированных исследований оценка $\pi$ и $\mu$ выполняются отдельными этапами. В таких случаях вычисление дисперсии ${\hat {\mu }}_{HT}$ не является простым. Для получения последовательных оценок дисперсии оценщика Хорвица – Томпсона можно применять такие методы повторной выборки, как бутстреп или складной нож. ^{[ 5 ]} Пакет «обзор» для R проводит анализ постстратифицированных данных с использованием оценщика Хорвица – Томпсона. ^{[ 6 ]}

Доказательство несмещенной оценки среднего значения Хорвица – Томпсона.

Можно показать, что оценка Хорвица-Томпсона несмещена при оценке ожидания оценки Хорвица-Томпсона: $\operatorname {E} {\bar {X}}_{n}^{HT}$ , следующее:

{\begin{aligned}&\operatorname {E} {\bar {X}}_{n}^{HT}=\operatorname {E} {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mathbf {X} _{I_{i}}}{\pi _{I_{i}}}}\\[6pt]={}&\operatorname {E} {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {X_{i}}{\pi _{i}}}1_{i\in D_{n}}\\[6pt]={}&\sum _{b=1}^{B}P(D_{n}^{(b)})\left[{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {X_{i}}{\pi _{i}}}1_{i\in D_{n}^{(b)}}\right]\\[6pt]={}&{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {X_{i}}{\pi _{i}}}\sum _{b=1}^{B}1_{i\in D_{n}^{(b)}}P(D_{n}^{(b)})\\[6pt]={}&{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {X_{i}}{\pi _{i}}}\right)\pi _{i}\\[6pt]={}&{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}\\[6pt]&{\text{where }}D_{n}=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\end{aligned}}

Известно, что стратегия Хансена-Гурвица (1943) уступает стратегии Хорвица-Томпсона (1952), связанной с рядом процедур выборки с вероятностью включения, пропорциональной размеру (IPPS). ^{[ 7 ]}

Ссылки

^ Хорвиц, Д.Г.; Томпсон, DJ (1952) «Обобщение выборки без замены из конечной вселенной», Журнал Американской статистической ассоциации , 47, 663–685, . JSTOR 2280784
^ Уильям Г. Кокран (1977), Методы отбора проб , 3-е издание, Wiley. ISBN 0-471-16240-X
^ Сярндал, Карл-Эрик; Свенссон, Бенгт; Ретман, Ян Хкан (1992). Выборка опроса с помощью модели . ISBN 9780387975283 .
^ Родерик Дж. А. Литтл, Дональд Б. Рубин (2002) Статистический анализ с отсутствующими данными , 2-е изд., Wiley. ISBN 0-471-18386-5
^ Кватембер, А. (2014). «Бутстрап конечной популяции — от метода максимального правдоподобия к подходу Хорвица-Томпсона» . Австрийский статистический журнал . 43 (2): 93–102. дои : 10.17713/ajs.v43i2.10 .
^ «КРАН – Пакетное обследование» . 19 июля 2021 г.
^ ПРАБХУ-АДЖГАОНКАР, С.Г. «Сравнение стратегии Хорвица-Томпсона со стратегией Хансена-Гурвица». Методология исследования (1987): 221. (pdf)

Внешние ссылки

Веб-сайт пакета опросов для R

[1] Хорвиц, Д.Г.; Томпсон, DJ (1952) «Обобщение выборки без замены из конечной вселенной», Журнал Американской статистической ассоциации , 47, 663–685, . JSTOR 2280784

[2] Уильям Г. Кокран (1977), Методы отбора проб , 3-е издание, Wiley. ISBN 0-471-16240-X

[sarndal1992-3] Сярндал, Карл-Эрик; Свенссон, Бенгт; Ретман, Ян Хкан (1992). Выборка опроса с помощью модели . ISBN 9780387975283 .

[4] Родерик Дж. А. Литтл, Дональд Б. Рубин (2002) Статистический анализ с отсутствующими данными , 2-е изд., Wiley. ISBN 0-471-18386-5

[5] Кватембер, А. (2014). «Бутстрап конечной популяции — от метода максимального правдоподобия к подходу Хорвица-Томпсона» . Австрийский статистический журнал . 43 (2): 93–102. дои : 10.17713/ajs.v43i2.10 .

[6] «КРАН – Пакетное обследование» . 19 июля 2021 г.

[7] ПРАБХУ-АДЖГАОНКАР, С.Г. «Сравнение стратегии Хорвица-Томпсона со стратегией Хансена-Гурвица». Методология исследования (1987): 221. (pdf)

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]