Неравномерность распределений

Проблема неравномерности распределений , впервые сформулированная Хьюго Штейнхаусом , представляет собой численную проблему с неожиданным результатом. Задача состоит в том, чтобы найти N чисел, $x_{1},\ldots ,x_{N}$, все от 0 до 1, для которых выполняются следующие условия:

• Первые два числа должны находиться в разных половинах (одно меньше 1/2, одно больше 1/2).
• Первые 3 числа должны находиться в разных третях (одно меньше 1/3, одно между 1/3 и 2/3, одно больше 2/3).
• Первые 4 числа должны быть в разных четвертях.
• Первые 5 чисел должны быть в разных пятых частях.
• и т. д.

Математически мы ищем последовательность действительных чисел.

$x_{1},\ldots ,x_{N}$

такая, что для любого n ∈ {1,..., N } и каждого k ∈ {1,..., n } существует такой i ∈ {1,..., k }, что

${\frac {k-1}{n}}\leq x_{i}<{\frac {k}{n}}.$

Решение

Удивительным результатом является то, что решение существует до N = 17, но начиная с N = 18 и выше оно невозможно. Возможное решение для N ≤ 17 схематически показано справа; численно это выглядит следующим образом:

Возможное решение для N = 17 показано схематически. В каждом ряду n имеется n «лоз», находящихся в разных n ^й с. Например, глядя на строку 5, можно увидеть, что 0 < x ₁ < 1/5 < x ₅ < 2/5 < x ₃ < 3/5 < x ₄ < 4/5 < x ₂ < 1. Числовое значение значения печатаются в тексте статьи.

${\begin{aligned}x_{1}&=0.029\\x_{2}&=0.971\\x_{3}&=0.423\\x_{4}&=0.71\\x_{5}&=0.27\\x_{6}&=0.542\\x_{7}&=0.852\\x_{8}&=0.172\\x_{9}&=0.62\\x_{10}&=0.355\\x_{11}&=0.777\\x_{12}&=0.1\\x_{13}&=0.485\\x_{14}&=0.905\\x_{15}&=0.218\\x_{16}&=0.667\\x_{17}&=0.324\end{aligned}}$

В этом примере, учитывая, например, первые 5 чисел, мы имеем

$0<x_{1}<{\frac {1}{5}}<x_{5}<{\frac {2}{5}}<x_{3}<{\frac {3}{5}}<x_{4}<{\frac {4}{5}}<x_{2}<1.$

Мечислав Вармус пришел к выводу, что 768 (1536, если считать симметричные решения отдельно) различных наборов интервалов удовлетворяют условиям N = 17.

Ссылки

• Х. Штайнхаус, Сто задач по элементарной математике , Basic Books , Нью-Йорк, 1964, стр. 12.
• Берлекамп, ER ; Грэм, Р.Л. (1970). «Неравномерности в распределениях конечных последовательностей» . Журнал теории чисел . 2 (2): 152–161. Бибкод : 1970JNT.....2..152B . дои : 10.1016/0022-314X(70)90015-6 . МР   0269605 .
• М. Вармус, «Дополнительное примечание о неравномерности распределений», Journal of Number Theory 8, 260–263, 1976.