Модель Нагеля – Шрекенберга

Модель Нагеля-Шрекенберга представляет собой теоретическую модель для моделирования движения по автомагистралям . Модель была разработана в начале 1990-х годов немецкими физиками Каем Нагелем и Михаэлем Шрекенбергом. ^{[ 1 ]} По сути, это простая клеточно-автоматная модель дорожного потока , способная воспроизводить пробки, т. е. показывать замедление средней скорости автомобиля при загруженности дороги (высокой плотности автомобилей). Модель показывает, что пробки можно рассматривать как возникающее или коллективное явление, возникающее из-за взаимодействия автомобилей на дороге, когда плотность автомобилей высока и автомобили в среднем находятся близко друг к другу.

Схема модели

В модели Нагеля-Шрекенберга дорога разделена на ячейки . В исходной модели эти ячейки выстроены в один ряд, концы которого соединены так, что все ячейки составляют круг (это пример так называемых периодических граничных условий ). Каждая ячейка представляет собой либо пустую дорогу, либо содержит одну машину; т.е. в ячейке одновременно может находиться не более одного автомобиля. Каждому автомобилю присваивается скорость, которая представляет собой целое число от 0 до максимальной скорости (= 5 в оригинальной работе Нагеля и Шрекенберга).

Время дискретизируется на временные шаги. Эта дискретизация как в пространстве, так и во времени приводит к созданию клеточного автомата. Можно представить ячейку длиной в несколько длин автомобиля, а максимальную скорость — как ограничение скорости на дороге. Тогда временной шаг — это время, за которое автомобиль на предельной скорости проезжает около 10 длин автомобиля. Однако модель также можно рассматривать как способ понять или смоделировать особенности пробок, показывая, как взаимодействие между соседними автомобилями приводит к их замедлению. На каждом временном шаге процедура следующая. ^{[ 1 ]}

На каждом этапе выполняются следующие четыре действия в порядке от первого до последнего, и все они применяются ко всем автомобилям. В каждом действии обновления применяются ко всем автомобилям параллельно.

Ускорение: Скорость всех автомобилей, не достигших максимальной скорости, увеличивается на одну единицу. Например, если скорость равна 4, она увеличивается до 5.
Замедление: все автомобили проверяются на предмет того, меньше ли расстояние между ним и автомобилем впереди (в единицах ячеек) его текущей скорости (которая имеет единицы ячеек на временной шаг). Если расстояние меньше скорости, скорость уменьшается до количества пустых ячеек перед автомобилем – чтобы избежать столкновения. Например, если скорость автомобиля теперь равна 5, но перед ним всего 3 свободных клетки, а четвертая клетка занята другой машиной, то скорость автомобиля снижается до 3.
Рандомизация: скорость всех автомобилей, имеющих скорость не менее 1, теперь уменьшается на одну единицу с вероятностью p. Например, если p = 0,5, то если скорость равна 4, она снижается до 3 в 50% случаев.
Движение автомобиля: Наконец, все автомобили перемещаются вперед на количество ячеек, равное их скорости. Например, если скорость равна 3, автомобиль переместится на 3 клетки вперед.

Эти четыре действия повторяются много раз, пока это необходимо для изучения возможных пробок. Модель представляет собой пример клеточного автомата . Модель рассчитана на одну полосу движения, где машины не могут разъехаться; обгона нет.

Пример моделирования в штате с пробками

Вверху и справа показан график зависимости средней скорости от плотности автомобилей, полученный в результате моделирования исходной модели Нагеля – Шрекенберга. ^{[ 1 ]} В детерминированном пределе p = 0 скорость постоянна при максимальной скорости (здесь 5) вплоть до плотности ρ = 1/(максимальная скорость + 1) = 1/6 = 0,167, в этой точке возникает разрыв уклон из-за внезапного появления пробок. Затем, по мере дальнейшего увеличения плотности, средняя скорость уменьшается, пока не достигнет нуля, когда дорога будет занята на 100%. Когда p = 0,3 и, следовательно, происходит случайное уменьшение скорости, тогда при низких плотностях средняя скорость, конечно, медленнее. Однако примечание: p > 0 также смещает плотность появления пробок в сторону меньших плотностей – пробки появляются в изломе кривой , которая при p = 0,3 близка к 0,15, а случайные замедления сглаживают разрыв в наклоне, найденный для p = 0 в начале пробок. ^{[ 2 ]}

Справа показан результат моделирования модели Нагеля – Шрекенберга с максимальной скоростью 5, плотностью автомобилей 0,35 и вероятностью замедления p = 0,3. Это дорога из 100 ячеек. Автомобили показаны черными точками, поэтому, например, если бы на дороге была одна машина, график был бы белым, за исключением единственной черной линии с уклоном -1/5 (максимальная скорость = 5). Линии имеют более крутые уклоны, что указывает на то, что заторы замедляют движение машин. Небольшие пробки проявляются в виде темных полос, т. е. групп автомобилей, стоящих нос к хвосту и медленно движущихся вправо. Волнение полос происходит из-за этапа рандомизации.

Итак, модель Нагеля-Шрекенберга включает в себя эффект того, что автомобили мешают друг другу и тем самым замедляют друг друга. Средняя скорость при такой плотности чуть больше 1, а при низкой плотности чуть меньше максимальной скорости, равной 5. Это также показывает, что это коллективное явление, при котором автомобили собираются в пробки. При возникновении пробок распределение автомобилей по дороге становится крайне неравномерным.

Роль рандомизации

Без этапа рандомизации (третье действие) модель представляет собой детерминированный алгоритм , т. е. автомобили всегда движутся по заданному шаблону, как только установлено исходное состояние дороги. При рандомизации это не так, как на реальной дороге с водителями-людьми. Рандомизация приводит к сглаживанию резкого перехода. ^{[ 2 ]} Прямо под этим переходом торможение одной машины из-за случайного замедления может замедлить движение следующих за ней машин, самопроизвольно создав затор. Эта особенность случайного торможения одной машины и возникновения затора отсутствует в детерминированной модели.

Свойства модели

Модель объясняет, как пробки могут возникать без внешнего воздействия, просто из-за скопления людей на дороге.
Было показано, что варианты модели Нагеля-Шрекенберга дают (с допуском в диапазоне расстояния между пробками) точно такие же результаты для траекторий транспортных средств, как кинематические волновые модели и линейные модели следования транспортных средств. ^{[ 3 ]}
По максимальной скорости один (вместо пяти) и отсутствию вероятности замедления модель равна клеточному автомату 184 Стивена Вольфрама .
Модель является минималистской, т.е. исключение любого элемента определения модели немедленно приведет к потере важнейших свойств трафика.

Приложение

Модель Нагеля-Шрекенберга получила дальнейшее развитие во время исследовательской работы Нагеля в Лос-Аламосской национальной лаборатории параллельных вычислений . модель перевозок прогнозирования Transims . На этой работе основана
В немецкой земле (бундесланд) Северный Рейн-Вестфалия модель Нагеля-Шрекенберга использовалась в качестве основы для комплексной системы прогнозирования дорожного движения, доступной онлайн.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Нагель, К.; Шрекенберг, М. (1992). «Модель клеточного автомата для движения по автостраде» (PDF) . Журнал де Физика I. 2 (12): 2221. Бибкод : 1992JPhy1...2.2221N . дои : 10.1051/jp1:1992277 . S2CID 37135830 . Архивировано из оригинала (PDF) 11 марта 2014 г.
^ Jump up to: ^а ^б Эйзенблэттер, Б.; Сантен, Л.; Шадшнайдер, А.; Шрекенберг, М. (1998). «Переход с помехами в модели сотового автомата для транспортного потока». Физический обзор E . 57 (2): 1309. arXiv : cond-mat/9706041 . Бибкод : 1998PhRvE..57.1309E . дои : 10.1103/PhysRevE.57.1309 . S2CID 17447674 .
^ Даганзо, CF (2006). «В транспортном потоке клеточные автоматы = кинематические волны» (PDF) . Транспортные исследования. Часть B: Методологические . 40 (5): 396–403. дои : 10.1016/j.trb.2005.05.004 . S2CID 30322677 .

Внешние ссылки

Система прогнозирования дорожного движения OLSIM земли Северный Рейн-Вестфалия [1] (немецкий)

[sn-1] Jump up to: ^а ^б ^с Нагель, К.; Шрекенберг, М. (1992). «Модель клеточного автомата для движения по автостраде» (PDF) . Журнал де Физика I. 2 (12): 2221. Бибкод : 1992JPhy1...2.2221N . дои : 10.1051/jp1:1992277 . S2CID 37135830 . Архивировано из оригинала (PDF) 11 марта 2014 г.

[sn2-2] Jump up to: ^а ^б Эйзенблэттер, Б.; Сантен, Л.; Шадшнайдер, А.; Шрекенберг, М. (1998). «Переход с помехами в модели сотового автомата для транспортного потока». Физический обзор E . 57 (2): 1309. arXiv : cond-mat/9706041 . Бибкод : 1998PhRvE..57.1309E . дои : 10.1103/PhysRevE.57.1309 . S2CID 17447674 .

[3] Даганзо, CF (2006). «В транспортном потоке клеточные автоматы = кинематические волны» (PDF) . Транспортные исследования. Часть B: Методологические . 40 (5): 396–403. дои : 10.1016/j.trb.2005.05.004 . S2CID 30322677 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]