Лемма Чандрасекара – Вентцеля

В векторном исчислении лемма Чандрасекара-Вентцеля была выведена Субраманьяном Чандрасекаром и Грегором Венцелем в 1965 году при изучении устойчивости вращающейся капли жидкости. Лемма утверждает, что если $\mathbf {S}$ — поверхность, ограниченная простым замкнутым контуром $C$, затем

$\mathbf {L} =\oint _{C}\mathbf {x} \times (d\mathbf {x} \times \mathbf {n} )=-\int _{\mathbf {S} }(\mathbf {x} \times \mathbf {n} )\nabla \cdot \mathbf {n} \ dS.$

Здесь $\mathbf {x}$ вектор положения и $\mathbf {n}$ – единица измерения нормали на поверхности. Непосредственным следствием является то, что если $\mathbf {S}$ является замкнутой поверхностью, то линейный интеграл стремится к нулю, что приводит к результату:

$\int _{\mathbf {S} }(\mathbf {x} \times \mathbf {n} )\nabla \cdot \mathbf {n} \ dS=0,$

или, в индексной записи, имеем

$\int _{\mathbf {S} }x_{j}\nabla \cdot \mathbf {n} \ dS_{k}=\int _{\mathbf {S} }x_{k}\nabla \cdot \mathbf {n} \ dS_{j}.$

То есть тензор

$T_{ij}=\int _{\mathbf {S} }x_{j}\nabla \cdot \mathbf {n} \ dS_{i}$

определенное на замкнутой поверхности, всегда симметрично, т. е. $T_{ij}=T_{ji}$.

Доказательство

Запишем вектор в индексной записи, но соглашений о суммировании в ходе доказательства будем избегать . Тогда левую часть можно записать как

$L_{i}=\oint _{C}[dx_{i}(n_{j}x_{j}+n_{k}x_{k})+dx_{j}(-n_{i}x_{j})+dx_{k}(-n_{i}x_{k})].$

Преобразовав линейный интеграл в поверхностный интеграл с помощью теоремы Стокса , получим

$L_{i}=\int _{\mathbf {S} }\left\{n_{i}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(-n_{i}x_{k})-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}(-n_{i}x_{j})\right]+n_{j}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}(n_{j}x_{j}+n_{k}x_{k})-{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(-n_{i}x_{k})\right]+n_{k}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(-n_{i}x_{j})-{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(n_{j}x_{j}+n_{k}x_{k})\right]\right\}\ dS.$

Проведя необходимое дифференцирование и после некоторой перестановки, получим

$L_{i}=\int _{\mathbf {S} }\left[-{\frac {1}{2}}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(n_{i}^{2}+n_{k}^{2})+{\frac {1}{2}}x_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}(n_{i}^{2}+n_{j}^{2})+n_{j}x_{k}\left({\frac {\partial n_{i}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial n_{k}}{\partial x_{k}}}\right)-n_{k}x_{j}\left({\frac {\partial n_{i}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial n_{j}}{\partial x_{j}}}\right)\right]\ dS,$

или, другими словами,

$L_{i}=\int _{\mathbf {S} }\left[{\frac {1}{2}}\left(x_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}-x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)|\mathbf {n} |^{2}-(x_{j}n_{k}-x_{k}n_{j})\nabla \cdot \mathbf {n} \right]\ dS.$

И поскольку $|\mathbf {n} |^{2}=1$, у нас есть

$L_{i}=-\int _{\mathbf {S} }(x_{j}n_{k}-x_{k}n_{j})\nabla \cdot \mathbf {n} \ dS,$

тем самым доказав лемму.