Квадратичная интеграция и огонь

Модель квадратичной интеграции и огня (QIF) — это модель биологического нейрона , которая описывает потенциалы действия в нейронах. В отличие от физиологически точных, но дорогостоящих в вычислительном отношении моделей нейронов, таких как модель Ходжкина-Хаксли , модель QIF стремится только создать паттерны, подобные потенциалу действия, игнорируя динамику трансмембранных токов и ионных каналов . Таким образом, модель QIF эффективна в вычислительном отношении и нашла повсеместное применение в вычислительной нейробиологии.

Идеализированная модель нейронного спайка определяется автономным дифференциальным уравнением

${\frac {dx}{dt}}=x^{2}+I$

где $x$ представляет мембранное напряжение и $I\geq 0$ представляет собой входной ток. Решением этого дифференциального уравнения является функция

$x(t)={\sqrt {I}}\tan({\sqrt {I}}t+c_{0}),$

где $c_{0}$ — произвольный сдвиг, зависящий от начального условия $x(0)$ (конкретно по формуле $c_{0}=\arctan(x(0)/{\sqrt {I}})$). Это решение «взрывается» за конечное время, а именно при $t=n\pi /(2{\sqrt {I}})-c_{0}$ для всех $n\in \mathbb {N}$, который напоминает ритмические потенциалы действия, генерируемые нейронами, стимулируемыми некоторым входным током. Таким образом, говорят, что «всплеск» произошел, когда решение достигает положительной бесконечности. Сразу после этого момента решение по определению возвращается к отрицательной бесконечности.

При реализации этой модели в численном моделировании значение пересечения порога ( $V_{t}$) и значение сброса ( $V_{r}$) назначается так, что когда решение превысит пороговое значение, $x(t)\geq V_{t}$, решение немедленно сбрасывается на $V_{r}$.

Приведенное выше уравнение напрямую связано с альтернативной формой модели QIF:

${\frac {dv}{dt}}=-{\frac {v(1-v)}{\tau _{m}}}+I$,

где $\tau _{m}$ – постоянная времени мембраны.