Простой граф

В математике теории графов и конечных групп граф простых чисел — это неориентированный граф, определенный из группы . Эти графики были представлены в статье Дж. С. Уильямса 1981 года, приписываемой неопубликованной работе 1975 года К. В. Грюнберга и О. Кегеля. ^[1]

Определение

Граф простых чисел группы имеет вершину для каждого простого числа, которая делит порядок (количество элементов) данной группы, и ребро, соединяющее каждую пару простых чисел. $p$ и $q$ для которого существует элемент группы с порядком $pq$ . ^[1]^[2]

Эквивалентно, имеется преимущество от $p$ к $q$ всякий раз, когда данная группа содержит коммутирующие элементы порядка $p$ и порядка $q$ , ^[1] или всякий раз, когда данная группа содержит циклическую группу порядка $pq$ как одна из его подгрупп. ^[2]

Характеристики

Некоторые конечные простые группы можно распознать по степеням вершин их графов простых чисел. ^[3] Компоненты связности графа простых чисел имеют диаметр не более трех не более пяти, а для разрешимых групп - . ^[4] Когда граф простых чисел является деревом , он имеет не более восьми вершин и не более четырех для разрешимых групп. ^[5]

Связанные графики

Вариации графов простых чисел, заменяющие существование циклической подгруппы порядка $pq$ , в определении смежности в графе простых чисел по существованию подгруппы другого типа. ^[2] Аналогичные результаты были также получены на родственном семействе графов, полученных из конечной группы через степени ее характеров, а не через порядки ее элементов. ^[6]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Уильямс, Дж. С. (1981), «Компоненты простых графов конечных групп», Journal of Algebra , 69 (2): 487–513, doi : 10.1016/0021-8693(81)90218-0 , MR 0617092
^ Jump up to: ^а ^б ^с Абэ, Сейичи; Иийори, Нобуо (2000), «Обобщение графов простых чисел конечных групп» , Hokkaido Mathematical Journal , 29 (2): 391–407, doi : 10.14492/hokmj/1350912979 , MR 1776716
^ Могаддамфар, Арканзас; Зокайи, Арканзас; Дарафше, М.Р. (2005), «Характеризация конечных простых групп степенями вершин их графов простых чисел», Коллоквиум по алгебре , 12 (3): 431–442, doi : 10.1142/S1005386705000398 , MR 2144997
^ Люсидо, Мария Сильвия (1999), «Диаметр графа простых чисел конечной группы», Журнал теории групп , 2 (2): 157–172, doi : 10.1515/jgth.1999.011 , MR 1681526 , Zbl 0921.20020
^ Люсидо, Мария Сильвия (2002), «Группы, в которых граф простых чисел является деревом», Bollettino della Unione Matematica Italiana , 5 (1): 131–148, MR 1881928 , Zbl 1097.20022
^ Тонг-Вьет, Хунг П. (2013), «Группы, графы простых чисел которых не имеют треугольников», Journal of Algebra , 378 : 196–206, arXiv : 1303.3457 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2012.12.024 , MR 3017021 , S2CID 119118934

[williams-1] Jump up to: ^а ^б ^с Уильямс, Дж. С. (1981), «Компоненты простых графов конечных групп», Journal of Algebra , 69 (2): 487–513, doi : 10.1016/0021-8693(81)90218-0 , MR 0617092

[cyclic-2] Jump up to: ^а ^б ^с Абэ, Сейичи; Иийори, Нобуо (2000), «Обобщение графов простых чисел конечных групп» , Hokkaido Mathematical Journal , 29 (2): 391–407, doi : 10.14492/hokmj/1350912979 , MR 1776716

[degrees-3] Могаддамфар, Арканзас; Зокайи, Арканзас; Дарафше, М.Р. (2005), «Характеризация конечных простых групп степенями вершин их графов простых чисел», Коллоквиум по алгебре , 12 (3): 431–442, doi : 10.1142/S1005386705000398 , MR 2144997

[diam-4] Люсидо, Мария Сильвия (1999), «Диаметр графа простых чисел конечной группы», Журнал теории групп , 2 (2): 157–172, doi : 10.1515/jgth.1999.011 , MR 1681526 , Zbl 0921.20020

[tree-5] Люсидо, Мария Сильвия (2002), «Группы, в которых граф простых чисел является деревом», Bollettino della Unione Matematica Italiana , 5 (1): 131–148, MR 1881928 , Zbl 1097.20022

[character-6] Тонг-Вьет, Хунг П. (2013), «Группы, графы простых чисел которых не имеют треугольников», Journal of Algebra , 378 : 196–206, arXiv : 1303.3457 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2012.12.024 , MR 3017021 , S2CID 119118934

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]