Функция управления (эконометрика)

Функции управления (также известные как двухэтапное остаточное включение ) представляют собой статистические методы коррекции проблем эндогенности путем моделирования эндогенности в термине ошибки . Таким образом, этот подход существенно отличается от других моделей, пытающихся объяснить ту же эконометрическую проблему. Инструментальные переменные , например, пытаются смоделировать эндогенную переменную X часто обратимую модель по отношению к соответствующему экзогенному инструменту Z. как Панельный анализ использует специальные свойства данных, чтобы выделить ненаблюдаемую неоднородность, которая, как предполагается, фиксируется с течением времени.

Функции управления были введены Хекманом и Роббом. хотя этот принцип можно проследить и в более ранних работах. Особая причина их популярности заключается в том, что они работают для необратимых моделей (таких как модели дискретного выбора ) и допускают гетерогенные эффекты, при этом эффекты на индивидуальном уровне могут отличаться от эффектов на совокупном уровне. Хорошо известным примером подхода с использованием функции управления является поправка Хекмана .

Формальное определение

Предположим, мы начинаем со стандартной установки эндогенных переменных с аддитивными ошибками, где X — эндогенная переменная, а Z — экзогенная переменная, которая может служить инструментом.

$Y=g(X)+U$ ( 1 )

$X=\pi (Z)+V$ ( 2 )

$E[U\mid Z,V]=E[U\mid V]$ ( 3 )

$E[V\mid Z]=0$ ( 4 )

Популярный подход с использованием инструментальных переменных заключается в использовании двухэтапной процедуры и сначала оценки уравнения ( 2 ), а затем использования оценок этого первого шага для оценки уравнения ( 1 ) на втором этапе. Однако функция управления использует то, что эта модель подразумевает

$E[Y\mid Z,V]=g(X)+E[U\mid Z,V]=g(X)+E[U\mid V]=g(X)+h(V)$ ( 5 )

Функция h ( V ) по сути является функцией управления, которая моделирует эндогенность и откуда этот эконометрический подход получил свое название.

В структуре потенциальных результатов причинно-следственной модели Рубина , где Y ₁ — переменная результата людей, для которых показатель участия D равен 1, подход с функцией контроля приводит к следующей модели

$E[Y_{1}\mid X,Z,D=1]=\mu _{1}(X)+E[U\mid D=1]$ ( 6 )

до тех пор, пока потенциальные результаты Y ₀ и Y ₁ не зависят от D при условии X и Z .

Коррекция отклонений

Поскольку регрессия второго этапа включает в себя сгенерированные регрессоры , ее дисперсионно-ковариационную матрицу необходимо скорректировать.

Примеры

Эндогенность в регрессии Пуассона

Вулдридж и Терза предлагают методологию, позволяющую рассматривать и проверять эндогенность в рамках структуры экспоненциальной регрессии, которой внимательно следует следующее обсуждение. Хотя пример фокусируется на модели регрессии Пуассона , его можно обобщить и на другие модели экспоненциальной регрессии, хотя это может произойти за счет дополнительных допущений (например, для моделей двоичного ответа или цензурированных данных).

Предположим следующую модель экспоненциальной регрессии, где $a_{i}$ является ненаблюдаемым членом скрытой переменной. Мы допускаем корреляцию между $a_{i}$ и $x_{i}$ (подразумевается $x_{i}$ возможно, является эндогенным), но не допускают такой корреляции между $a_{i}$ и $z_{i}$.

$\operatorname {E} [y_{i}\mid x_{i},z_{i},a_{i}]=\exp(x_{i}b_{0}+z_{i}c_{0}+a_{i})$

Переменные $z_{i}$ служат инструментальными переменными для потенциально эндогенных $x_{i}$. Можно предположить линейную связь между этими двумя переменными или, альтернативно, спрогнозировать эндогенную переменную. $x_{i}$ на инструменты, чтобы получить следующее уравнение в сокращенной форме:

$x_{i}=z_{i}\Pi +v_{i}$ ( 1 )

Обычное условие ранга необходимо для обеспечения идентификации. Эндогенность затем моделируется следующим образом, где $\rho$ определяет выраженность эндогенности и $v_{i}$ предполагается независимым от $e_{i}$.

$a_{i}=v_{i}\rho +e_{i}$

Наложение этих предположений, предполагая, что модели правильно определены, и нормализация $\operatorname {E} [\exp(e_{i})]=1$, мы можем переписать условное среднее следующим образом:

$\operatorname {E} [y_{i}\mid x_{i},z_{i},v_{i}]=\exp(x_{i}b_{0}+z_{i}c_{0}+v_{i}\rho )$ ( 2 )

Если $v_{i}$ были известны на данный момент, можно было бы оценить соответствующие параметры с помощью оценки квазимаксимального правдоподобия (QMLE). Следуя стратегии двухэтапной процедуры, Вулдридж и Терца предлагают оценивать уравнение ( 1 ) методом обычных наименьших квадратов . Подобранные остатки этой регрессии затем можно включить в уравнение оценки ( 2 ), и методы QMLE приведут к согласованным оценкам интересующих параметров. Тесты значимости ${\hat {\rho }}$ затем можно использовать для проверки эндогенности модели.

Расширения

Исходная процедура Хекита делает предположения о распределении ошибок, однако были созданы более гибкие подходы к оценке с более слабыми предположениями о распределении. Кроме того, Бланделл и Пауэлл показывают, как подход с использованием функции управления может быть особенно полезен в моделях с неаддитивными ошибками , таких как модели дискретного выбора. Однако этот последний подход неявно делает сильные предположения о распределении и функциональной форме.

См. также

• Двухэтапный метод наименьших квадратов — метод в статистике. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Коррекция Хекмана - статистический метод, исправляющий ошибку выборки.

Дальнейшее чтение

• Го, Цзыцзянь; Смолл, Дилан С. (2016). «Инструментальная оценка переменных функций управления в нелинейных моделях причинно-следственных связей» . Журнал исследований машинного обучения . 17 (100): 1–35. arXiv : 1602.01051 .
• Вулдридж, Джеффри М. (2015). «Методы функций управления в прикладной эконометрике». Журнал человеческих ресурсов . 50 (2): 420–445. дои : 10.3368/jhr.50.2.420 . S2CID   119604644 .