Полиномиальное совместное измерение

Полиномиальное совместное измерение — это расширение теории совместного измерения на три или более атрибутов. Первоначально он был разработан математическими психологами Дэвидом Кранцем (1968) и Амосом Тверски (1967). Теория получила исчерпывающее математическое изложение в первом томе книги « Основы измерения» (Кранц, Люс, Суппес и Тверски, 1971), которую Кранц и Тверски написали в сотрудничестве с математическим психологом Р. Дунканом Люсом и философом Патриком Суппесом . Кранц и Тверски (1971) также опубликовали нетехническую статью о полиномиальном совместном измерении для ученых-бихевиористов в журнале Psychoological Review .

Как и в теории совместного измерения, значение полиномиального совместного измерения заключается в количественной оценке естественных атрибутов в отсутствие операций конкатенации. Полиномиальное совместное измерение отличается от случая двух атрибутов, открытого Люсом и Тьюки (1964), тем, что используются более сложные правила композиции.

Полиномиальное совместное измерение

Схема Кранца (1968)

Большинство научных теорий включают более чем два атрибута; и, таким образом, случай совместного измерения с двумя переменными имеет довольно ограниченную область применения. Более того, вопреки теории n -компонентного совместного измерения, многие атрибуты представляют собой неаддитивные композиции других атрибутов (Кранц и др., 1971). Кранц (1968) предложил общую схему для установления достаточного набора аксиом сокращения для класса правил комбинации полиномов, которые он назвал простыми полиномами . Формальное определение этой схемы, данное Кранцем и др. (1971, стр. 328), следующее.

Позволять $Y={\big \{}y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}{\big \}}$. Набор $S\left(Y\right)$ — это наименьший набор простых полиномов, таких что:

• $y_{i}\in S\left(Y\right),i=1,\ldots ,n$;
• $Y_{1},Y_{2}\subset Y$ такой, что $Y_{1}\cap Y_{2}=\varnothing ,G_{1}\in S\left(Y_{1}\right)$ и $G_{2}\in S\left(Y_{2}\right)$, затем $G_{1}+G_{2}\,$ и $G_{1}G_{2}\,$ находятся в $S\left(Y\right)$.

Неофициально схема утверждает: а) отдельные атрибуты представляют собой простые полиномы; б) если G1 _{т.е. не} и G2 _то имеющие общих атрибутов), G1 _и + G2 _{простые многочлены ,} — G1 _{не пересекающиеся (} $\times$ G ₂ – простые многочлены; и в) никакие полиномы не являются простыми, за исключением случаев, указанных в пунктах а) и б).

Пусть A , P и U — отдельные непересекающиеся атрибуты. Из схемы Кранца (1968) следует, что существуют четыре класса простых полиномов от трех переменных, которые содержат в общей сложности восемь простых полиномов:

• Добавка : $A+P+U\,$;
• Распределительный : $\left(A+P\right)U\,$; плюс еще 2, полученные заменой A , P и U ;
• Двойной дистрибутив : $AP+U\,$ плюс еще 2, как указано выше;
• Мультипликативный : $APU\,$.

Схема Кранца (1968) может использоваться для построения простых полиномов с большим количеством атрибутов. Например, если D — одна переменная, не пересекающаяся с A, B и C, то три класса простых многочленов от четырех переменных — это A + B + C + D, D + (B + AC) и D + ABC. Эту процедуру можно использовать для любого конечного числа переменных. Простой тест заключается в том, что простой многочлен можно «разбить» либо на произведение, либо на сумму двух меньших, непересекающихся простых многочленов. Эти полиномы можно далее «разделять» до тех пор, пока не будут получены отдельные переменные. Выражение, не поддающееся «разбиению» таким способом, не является простым полиномом (например, AB + BC + AC (Кранц и Тверски, 1971)).

Аксиомы

Позволять $A={\big \{}a,b,c,\ldots {\big \}}$, $P={\big \{}p,q,r,\ldots {\big \}}$ и $U={\big \{}u,v,w,\ldots {\big \}}$ быть непустыми и непересекающимися множествами. Позволять " $\succsim$ «быть простым порядком. Кранц и др. (1971) утверждали, что четверной порядок $Z=\langle A,P,U,\succsim \rangle$ является полиномиальной сопряженной системой тогда и только тогда, когда выполняются следующие аксиомы.

• СЛАБЫЙ ЗАКАЗ .
• ОДИНОЧНАЯ ОТМЕНА . Отношение " $\succsim$ " удовлетворяет однократной отмене по A всякий раз, когда $\left(a,p,u\right)\succsim \left(b,p,u\right)$ тогда и только тогда, когда $\left(a,q,v\right)\succsim \left(b,q,v\right)$ держится для всех $a,b\in A;p,q\in P$ и $u,v\in U$. однократная отмена при P и U. Аналогично определяется
• ДВОЙНАЯ ОТМЕНА . Отношение " $\succsim$ " на $A\times P$ удовлетворяет двойной отмене тогда и только тогда, когда для всех $a,b,c\in A$ и $p,q,r\in P$, $\left(a,q,u\right)\succsim \left(b,p,u\right)$ и $\left(b,r,u\right)\succsim \left(c,q,u\right)$ поэтому $\left(a,r,u\right)\succsim \left(c,p,u\right)$ верно для всех $u\in U$. Аналогично условие справедливо и для $A\times U$ и $U\times P$.
• СОВМЕСТНАЯ ОДИНАРНАЯ ОТМЕНА . Отношение " $\succsim$ " на $A\times P$ удовлетворяет совместному однократному аннулированию, такому что $\left(a,p,u\right)\succsim \left(b,q,u\right)$ тогда и только тогда, когда $\left(a,p,v\right)\succsim \left(b,q,v\right)$ верно для всех $a,b\in A;p,q\in P$ и $u,v\in U$. Совместная независимость определяется аналогичным образом для $A\times U$ и $U\times P$.
• РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНАЯ ОТМЕНА . Отмена распределения сохраняется $A\times P\times U$ тогда и только тогда, когда $\left(a,p,u\right)\succsim \left(c,r,v\right)$, $\left(b,q,u\right)\succsim \left(d,s,v\right)$ и $\left(d,r,v\right)\succsim \left(b,p,u\right)$ подразумевает $\left(a,q,u\right)\succsim \left(c,s,v\right)$ верно для всех $a,b,c,d\in A;p,q,r,s\in P$ и $u,v\in U$.
• ДВОЙНАЯ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНАЯ ОТМЕНА . Двойная дистрибутивная отмена сохраняется. $A\times P\times U$ тогда и только тогда, когда

$\left(a,r,w\right)\succsim \left(c,s,v\right)$, $\left(d,p,u\right)\succsim \left(b,t,x\right)$, $\left(d,r,x\right)\succsim \left(e,s,u\right)$ и $\left(c,t,y\right)\succsim \left(d,q,y\right)$ подразумевает $\left(a,p,v\right)\succsim \left(b,q,w\right)$ верно для всех $a,b,c,d,e\in A;p,q,r,s,t\in P$ и $u,v,w,x,y\in U$.

• РАЗРЕШИМОСТЬ . Отношение " $\succsim$ " на $A\times P\times U$ разрешимо тогда и только тогда, когда для всех $a,b\in A;p,q\in P$ и $u,v\in U$, существует $c\in A;r\in P$ и $w\in U$ такой, что $a\sim \left(b,q,w\right)\sim \left(b,r,v\right)\sim \left(c,q,v\right)$.
• УСЛОВИЕ АРХИМЕДА .

Теоремы о представлении

Четверной $Z=\langle A,P,U,\succsim \rangle$ попадает в один класс трех переменных простых многочленов в силу совместной аксиомы однократного сокращения.

Ссылки

• Кранц, Д.Х. (1968). Обзор теории измерений. В GB Danzig и AF Veinott (ред.), Mathematics of Decision Sciences , часть 2 (стр. 314–350). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
• Кранц, Д.Х.; Люси, РД; Суппес П. и Тверски А. (1971). Основы измерения, Vol. I: Аддитивные и полиномиальные представления . Нью-Йорк: Академическая пресса.
• Кранц Д.Х. и Тверски А. (1971). Анализ совместных измерений правил композиции в психологии. Психологическое обозрение , 78 , 151–169.
• Люс, Р.Д. и Тьюки, Дж.В. (1964). Одновременное совместное измерение: новый тип шкалы фундаментальных измерений. Журнал математической психологии , 1 , 1–27.
• Тверский, А. (1967). Общая теория полиномиального совместного измерения. Журнал математической психологии , 4 , 1–20.