Уравнение Хасегавы–Мимы

В физике плазмы уравнение Хасэгавы-Мимы , названное в честь Акиры Хасегавы и Куниоки Мимы , представляет собой уравнение, описывающее определенный режим плазмы , где временные масштабы очень быстрые, а масштаб расстояний в направлении магнитного поля большой. . В частности, это уравнение полезно для описания турбулентности в некоторых токамаках . Уравнение было введено в статье Хасегавы и Мимы, представленной в 1977 году в журнал Physics of Fluids , где они сравнили его с результатами токамака ATC.

Предположения

• Магнитное поле достаточно велико, чтобы:

${\frac {1}{\omega _{ci}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\ll 1$

для всех интересующих количеств. Когда частицы в плазме движутся в магнитном поле, они вращаются по кругу вокруг магнитного поля. Частота колебаний, $\omega _{ci}$ известная как циклотронная частота или гирочастота, прямо пропорциональна магнитному полю.

• Плотность частиц подчиняется условию квазинейтральности :

$n_{e}\approx Zn_{i}\,$

где Z — число протонов в ионах. Если мы говорим о водороде, Z = 1, и n одинаково для обоих видов. Это условие верно до тех пор, пока электроны могут экранировать электрические поля. Облако электронов окружит любой заряд с приблизительным радиусом, известным как дебаевская длина . По этой причине это приближение означает, что масштаб размеров намного больше, чем дебаевская длина. Плотность ионных частиц может быть выражена членом первого порядка, который представляет собой плотность, определяемую уравнением условия квазинейтральности, и членом второго порядка, который показывает, насколько она отличается от уравнения.

• Плотность частиц ионов первого порядка является функцией положения, а не времени. Это означает, что возмущения плотности частиц изменяются в масштабе времени, намного более медленном, чем интересующий масштаб. Плотность частиц второго порядка, которая вызывает плотность заряда и, следовательно, электрический потенциал, может меняться со временем.
• Магнитное поле B должно быть однородным в пространстве и не быть функцией времени. Магнитное поле также движется во времени, намного медленнее, чем интересующий нас масштаб. Это позволяет пренебречь производной по времени в уравнении баланса импульса.
• Температура ионов должна быть много меньше температуры электронов. Это означает, что давлением ионов в уравнении баланса импульса ионов можно пренебречь.
• Электроны следуют распределению Больцмана , где:

$n=n_{0}e^{e\phi /T_{e}}\,$

Поскольку электроны могут свободно двигаться вдоль направления магнитного поля, они экранируют электрические потенциалы. Это экранирование приводит к формированию больцмановского распределения электронов вокруг электрических потенциалов.

Уравнение

Уравнение Хасэгавы-Мимы представляет собой нелинейное уравнение в частных производных второго порядка, описывающее электрический потенциал. Форма уравнения:

${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\phi -\phi \right)-\left[\left(\nabla \phi \times \mathbf {\hat {z}} \right)\cdot \nabla \right]\left[\nabla ^{2}\phi -\ln \left(n_{0}\right)\right]=0.$

Хотя условие квазинейтральности сохраняется, небольшие различия в плотности между электронами и ионами вызывают появление электрического потенциала. Уравнение Хасэгавы–Мимы получено из уравнения непрерывности:

${\frac {\partial n}{\partial t}}+\nabla \cdot (n\mathbf {v} )=0.$

Скорость жидкости можно аппроксимировать дрейфом E в поперечном направлении B:

$\mathbf {v_{E}} ={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {B} }{cB^{2}}}={\frac {-\nabla \phi \times \mathbf {\hat {z}} }{cB}}.$

Предыдущие модели выводили свои уравнения из этого приближения. Дивергенция дрейфа E в поперечном направлении B равна нулю, что сохраняет жидкость несжимаемой. Однако сжимаемость жидкости очень важна для описания эволюции системы. Хасэгава и Мима утверждали, что это предположение неверно. Уравнение Хасегавы-Мимы вводит член второго порядка для скорости жидкости, известный как дрейф поляризации , чтобы найти дивергенцию скорости жидкости. Из-за предположения о большом магнитном поле дрейф поляризации намного меньше, чем дрейф E-кросс-B. Тем не менее, он знакомит с важной физикой.

Для двумерной несжимаемой жидкости, не являющейся плазмой, уравнения Навье – Стокса гласят:

${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)-\left[\left(\nabla \psi \times \mathbf {\hat {z}} \right)\cdot \nabla \right]\nabla ^{2}\psi =0$

после взятия ротора уравнения баланса импульса. Это уравнение почти идентично уравнению Хасегавы-Мимы, за исключением того, что второй и четвертый члены отсутствуют, а электрический потенциал заменяется потенциалом вектора скорости жидкости, где:

$\mathbf {v} =-\nabla \psi \times \mathbf {\hat {z}} .$

Первый и третий члены уравнения Хасегавы-Мимы, которые аналогичны уравнению Навье-Стокса, представляют собой члены, введенные путем добавления дрейфа поляризации. В пределе, когда длина волны возмущения электрического потенциала намного меньше гирорадиуса, основанного на скорости звука, уравнения Хасегавы-Мимы становятся такими же, как для двумерной несжимаемой жидкости.

Нормализация

Один из способов более полного понимания уравнения — понять, к чему оно нормировано, что дает вам представление об интересующих масштабах. Время, положение и электрический потенциал нормированы на t',x' и $\phi '$

Временной шкалой для уравнения Хасегавы–Мимы является обратная ионная гирочастота:

$t'=\omega _{ci}t,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \omega _{ci}={\frac {eZB}{m_{i}c}}.$

Из предположения о большом магнитном поле нормированное время очень мало. Однако он все еще достаточно велик, чтобы извлекать из него информацию.

Шкала расстояний представляет собой гирорадиус, основанный на скорости звука:

$x'={\frac {x}{\rho _{s}}},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rho _{s}^{2}\equiv {\frac {T_{e}}{m_{i}\omega _{ci}^{2}}}.$

Если вы перейдете в k-пространство, станет ясно, что когда k, волновое число, намного больше единицы, члены, которые отличают уравнение Хасегавы-Мимы от уравнения, полученного из уравнения Навье-Стокса в двумерном несжимаемом потоке, становятся гораздо меньше остальных.

По масштабам расстояний и времени мы можем определить масштаб скоростей. Оказывается, это скорость звука. Уравнение Хасегавы-Мимы показывает нам динамику быстро движущихся звуков в отличие от более медленной динамики, такой как потоки, которые фиксируются в уравнениях МГД . Это движение даже быстрее скорости звука, учитывая, что временные масштабы намного меньше нормализованного времени.

Потенциал нормируется следующим образом:

$\phi '={\frac {e\phi }{T_{e}}}.$

Поскольку электроны соответствуют максвеллиану и выполняется условие квазинейтральности, этот нормированный потенциал мал, но порядок аналогичен нормированной производной по времени.

Полное уравнение без нормализации имеет вид:

${\frac {1}{\omega _{ci}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho _{s}^{2}\nabla ^{2}{\frac {e\phi }{T_{e}}}-{\frac {e\phi }{T_{e}}}\right)-\left[\left(\rho _{s}\nabla {\frac {e\phi }{T_{e}}}\times \mathbf {\hat {z}} \right)\cdot \rho _{s}\nabla \right]\left[\rho _{s}^{2}\nabla ^{2}{\frac {e\phi }{T_{e}}}-\ln \left({\frac {n_{0}}{\omega _{ci}}}\right)\right]=0.$

Хотя производная по времени, разделенная на циклотронную частоту, намного меньше единицы, а нормированный электрический потенциал намного меньше единицы, пока градиент порядка единицы, оба члена сравнимы с нелинейным членом. Невозмущенный градиент плотности также может быть столь же мал, как и нормированный электрический потенциал, и сравним с другими членами.

Другие формы уравнения

Часто уравнение Хасегавы–Мимы выражают в другой форме с помощью скобок Пуассона . Эти скобки Пуассона определяются как:

$\left[A,B\right]\equiv {\frac {\partial A}{\partial x}}{\frac {\partial B}{\partial y}}-{\frac {\partial A}{\partial y}}{\frac {\partial B}{\partial x}}.$

Используя эти скобки Пуассона , уравнение можно переформулировать как:

${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\phi -\phi \right)+\left[\phi ,\nabla ^{2}\phi \right]-\left[\phi ,\ln \left({\frac {n_{0}}{\omega _{ci}}}\right)\right]=0.$

Часто предполагается, что плотность частиц изменяется равномерно только в одном направлении, и уравнение записывается в несколько иной форме. Скобка Пуассона, включающая плотность, заменяется определением скобки Пуассона, а константа заменяет производную члена, зависящего от плотности.

Сохраняющиеся количества

В двумерной несжимаемой жидкости сохраняются две величины. Кинетическая энергия :

$\int \left(\nabla \psi \right)^{2}dV=\int v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\,dV.$

И энстрофия :

$\int \left(\nabla ^{2}\psi \right)^{2}\,dV=\int \left(\nabla \times \mathbf {v} \right)^{2}\,dV.$

В уравнении Хасэгавы–Мимы также есть две сохраняющиеся величины, связанные с указанными выше величинами. Обобщенная энергия:

$\int \left[\phi ^{2}+\left(\nabla \phi \right)^{2}\right]\,dV.$

И генерализованная энстрофия:

$\int \left[\left(\nabla \phi \right)^{2}+\left(\nabla ^{2}\phi \right)^{2}\right]\,dV.$

В пределе, когда уравнение Хасегавы-Мимы совпадает с уравнением несжимаемой жидкости, обобщенная энергия и энстрофия становятся такими же, как кинетическая энергия и энстрофия.

См. также

• Магнитогидродинамика
• Уравнения Навье – Стокса.
• Плазма (физика)
• Турбулентность

Ссылки

• Хасэгава, Акира; Мима, Куниоки (1978). «Псевдотрехмерная турбулентность в замагниченной неоднородной плазме». Физика жидкостей . 21 (1). Издательство АИП: 87–92. Бибкод : 1978PhFl...21...87H . дои : 10.1063/1.862083 . ISSN   0031-9171 .
• Хасэгава, Акира; Мима, Куниоки (25 июля 1977 г.). «Стационарный спектр сильной турбулентности в замагниченной неоднородной плазме». Письма о физических отзывах . 39 (4). Американское физическое общество (APS): 205–208. Бибкод : 1977PhRvL..39..205H . дои : 10.1103/physrevlett.39.205 . ISSN   0031-9007 .

Внешние ссылки

• http://www.ipp.mpg.de/~fsj/PAPERS_1/tutorial_3.pdf. Архивировано 26 февраля 2007 г. в Wayback Machine.