Таблица коэффициентов Клебша – Гордана

Это таблица коэффициентов Клебша – Гордана, используемых для сложения значений углового момента в квантовой механике . Общий знак коэффициентов для каждого набора констант $j_{1}$, $j_{2}$, $j$ в некоторой степени произволен и зафиксирован в соответствии с соглашением о знаках Кондона-Шортли и Вигнера, как обсуждалось Бэрдом и Биденхарном . Таблицы с одинаковым соглашением знаков можно найти в данных о частицах. группы Обзоре свойств частиц и в онлайн-таблицах.

Формулировка

Коэффициенты Клебша – Гордана являются решениями задачи

$|j_{1},j_{2};J,M\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}\rangle \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle$

Явно:

${\begin{aligned}&\langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle \\[6pt]={}&\delta _{M,m_{1}+m_{2}}{\sqrt {\frac {(2J+1)(J+j_{1}-j_{2})!(J-j_{1}+j_{2})!(j_{1}+j_{2}-J)!}{(j_{1}+j_{2}+J+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&{\sqrt {(J+M)!(J-M)!(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!}}\ \times {}\\[6pt]&\sum _{k}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-J-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(J-j_{2}+m_{1}+k)!(J-j_{1}-m_{2}+k)!}}.\end{aligned}}$

Суммирование распространяется на все целые числа k, для которых аргумент каждого факториала неотрицательен.

Для краткости решения с M < 0 и j ₁ < j ₂ опущены. Их можно рассчитать, используя простые соотношения

$\langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{1},j_{2};-m_{1},-m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,-M\rangle .$

и

$\langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{2},j_{1};m_{2},m_{1}\mid j_{2},j_{1};J,M\rangle .$

Конкретные значения

Коэффициенты Клебша – Гордана для значений j , меньших или равных 5/2, приведены ниже.

 j ₂ = 0

Когда j ₂ = 0 , коэффициенты Клебша–Гордана имеют вид $\delta _{j,j_{1}}\delta _{m,m_{1}}$.

 j ₁ = 1/2 ​ ​ ⁠ , j ₂ = ⁠ 1 / 2 ⁠

м = 1

дж м 1 , м 2	1
⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠	$1$

м = −1

дж м 1 , м 2	1
− ⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠	$1$

м = 0

дж м 1 , м 2	1	0
⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$
− ⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{2}}}$

 j ₁ = 1, j ₂ = 1/2

м = ⁠ 3 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 3 / 2 ⁠
1,  ⁠ 1 / 2 ⁠	$1$

м = ⁠ 1 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 3 / 2 ⁠	⁠ 1 / 2 ⁠
1, − ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{3}}}$	${\sqrt {\frac {2}{3}}}$
0,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {2}{3}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{3}}}$

 j ₁ = 1, j ₂ = 1

м = 2

дж м 1 , м 2	2
1, 1	$1$

м = 1

дж м 1 , м 2	2	1
1, 0	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$
0, 1	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{2}}}$

м = 0

дж м 1 , м 2	2	1	0
1, −1	${\sqrt {\frac {1}{6}}}$	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$	${\sqrt {\frac {1}{3}}}$
0, 0	${\sqrt {\frac {2}{3}}}$	$0$	$-{\sqrt {\frac {1}{3}}}$
−1, 1	${\sqrt {\frac {1}{6}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{2}}}$	${\sqrt {\frac {1}{3}}}$

 j ₁ = 3 / 2 ⁠ , j ₂ = ⁠ 1 / 2 ⁠

м = 2

дж м 1 , м 2	2
⁠ 3 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠	$1$

м = 1

дж м 1 , м 2	2	1
⁠ 3 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠	${\frac {1}{2}}$	${\sqrt {\frac {3}{4}}}$
⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {3}{4}}}$	$-{\frac {1}{2}}$

м = 0

дж м 1 , м 2	2	1
⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$
− ⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{2}}}$

 j ₁ = 3/2 ​ ​ , j 2 ₌ 1

м = ⁠ 5 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 5 / 2 ⁠
⁠ 3 / 2 ⁠ , 1	$1$

м = ⁠ 3 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 5 / 2 ⁠	⁠ 3 / 2 ⁠
⁠ 3 / 2 ⁠ , 0	${\sqrt {\frac {2}{5}}}$	${\sqrt {\frac {3}{5}}}$
⁠ 1 / 2 ⁠ , 1	${\sqrt {\frac {3}{5}}}$	$-{\sqrt {\frac {2}{5}}}$

м = ⁠ 1 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 5 / 2 ⁠	⁠ 3 / 2 ⁠	⁠ 1 / 2 ⁠
⁠ 3 / 2 ⁠ , −1	${\sqrt {\frac {1}{10}}}$	${\sqrt {\frac {2}{5}}}$	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$
⁠ 1 / 2 ⁠ , 0	${\sqrt {\frac {3}{5}}}$	${\sqrt {\frac {1}{15}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{3}}}$
− ⁠ 1 / 2 ⁠ , 1	${\sqrt {\frac {3}{10}}}$	$-{\sqrt {\frac {8}{15}}}$	${\sqrt {\frac {1}{6}}}$

 j ₁ = 3 / 2 ⁠ , j ₂ = ⁠ 3 / 2 ⁠

м = 3

дж м 1 , м 2	3
⁠ 3 / 2 ⁠ ,  ⁠ 3 / 2 ⁠	$1$

м = 2

дж м 1 , м 2	3	2
⁠ 3 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$
⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{2}}}$

м = 1

дж м 1 , м 2	3	2	1
⁠ 3 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{5}}}$	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$	${\sqrt {\frac {3}{10}}}$
⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {3}{5}}}$	$0$	$-{\sqrt {\frac {2}{5}}}$
− ⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{5}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{2}}}$	${\sqrt {\frac {3}{10}}}$

м = 0

дж м 1 , м 2	3	2	1	0
⁠ 3 / 2 ⁠ , − ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{20}}}$	${\frac {1}{2}}$	${\sqrt {\frac {9}{20}}}$	${\frac {1}{2}}$
⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {9}{20}}}$	${\frac {1}{2}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{20}}}$	$-{\frac {1}{2}}$
− ⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {9}{20}}}$	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{20}}}$	${\frac {1}{2}}$
− ⁠ 3 / 2 ⁠ ,  ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{20}}}$	$-{\frac {1}{2}}$	${\sqrt {\frac {9}{20}}}$	$-{\frac {1}{2}}$

 j ₁ = 2, j ₂ = ⁠ 1 / 2 ⁠

м = ⁠ 5 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 5 / 2 ⁠
2,  ⁠ 1 / 2 ⁠	$1$

м = ⁠ 3 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 5 / 2 ⁠	⁠ 3 / 2 ⁠
2, − ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{5}}}$	${\sqrt {\frac {4}{5}}}$
1,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {4}{5}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{5}}}$

м = ⁠ 1 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 5 / 2 ⁠	⁠ 3 / 2 ⁠
1, − ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {2}{5}}}$	${\sqrt {\frac {3}{5}}}$
0,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {3}{5}}}$	$-{\sqrt {\frac {2}{5}}}$

 j ₁ = 2, j ₂ = 1

м = 3

дж м 1 , м 2	3
2, 1	$1$

м = 2

дж м 1 , м 2	3	2
2, 0	${\sqrt {\frac {1}{3}}}$	${\sqrt {\frac {2}{3}}}$
1, 1	${\sqrt {\frac {2}{3}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{3}}}$

м = 1

дж м 1 , м 2	3	2	1
2, −1	${\sqrt {\frac {1}{15}}}$	${\sqrt {\frac {1}{3}}}$	${\sqrt {\frac {3}{5}}}$
1, 0	${\sqrt {\frac {8}{15}}}$	${\sqrt {\frac {1}{6}}}$	$-{\sqrt {\frac {3}{10}}}$
0, 1	${\sqrt {\frac {2}{5}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{2}}}$	${\sqrt {\frac {1}{10}}}$

м = 0

дж м 1 , м 2	3	2	1
1, −1	${\sqrt {\frac {1}{5}}}$	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$	${\sqrt {\frac {3}{10}}}$
0, 0	${\sqrt {\frac {3}{5}}}$	$0$	$-{\sqrt {\frac {2}{5}}}$
−1, 1	${\sqrt {\frac {1}{5}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{2}}}$	${\sqrt {\frac {3}{10}}}$

 j ₁ = 2, j ₂ = ⁠ 3 / 2 ⁠

м = ⁠ 7 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 7 / 2 ⁠
2,  ⁠ 3 / 2 ⁠	$1$

м = ⁠ 5 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 7 / 2 ⁠	⁠ 5 / 2 ⁠
2,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {3}{7}}}$	${\sqrt {\frac {4}{7}}}$
1,  ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {4}{7}}}$	$-{\sqrt {\frac {3}{7}}}$

м = ⁠ 3 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 7 / 2 ⁠	⁠ 5 / 2 ⁠	⁠ 3 / 2 ⁠
2, − ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{7}}}$	${\sqrt {\frac {16}{35}}}$	${\sqrt {\frac {2}{5}}}$
1,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {4}{7}}}$	${\sqrt {\frac {1}{35}}}$	$-{\sqrt {\frac {2}{5}}}$
0,  ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {2}{7}}}$	$-{\sqrt {\frac {18}{35}}}$	${\sqrt {\frac {1}{5}}}$

м = ⁠ 1 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 7 / 2 ⁠	⁠ 5 / 2 ⁠	⁠ 3 / 2 ⁠	⁠ 1 / 2 ⁠
2, − ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{35}}}$	${\sqrt {\frac {6}{35}}}$	${\sqrt {\frac {2}{5}}}$	${\sqrt {\frac {2}{5}}}$
1, − ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {12}{35}}}$	${\sqrt {\frac {5}{14}}}$	$0$	$-{\sqrt {\frac {3}{10}}}$
0,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {18}{35}}}$	$-{\sqrt {\frac {3}{35}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{5}}}$	${\sqrt {\frac {1}{5}}}$
−1,  ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {4}{35}}}$	$-{\sqrt {\frac {27}{70}}}$	${\sqrt {\frac {2}{5}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{10}}}$

 j ₁ = 2, j ₂ = 2

м = 4

дж м 1 , м 2	4
2, 2	$1$

м = 3

дж м 1 , м 2	4	3
2, 1	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$
1, 2	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{2}}}$

м = 2

дж м 1 , м 2	4	3	2
2, 0	${\sqrt {\frac {3}{14}}}$	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$	${\sqrt {\frac {2}{7}}}$
1, 1	${\sqrt {\frac {4}{7}}}$	$0$	$-{\sqrt {\frac {3}{7}}}$
0, 2	${\sqrt {\frac {3}{14}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{2}}}$	${\sqrt {\frac {2}{7}}}$

м = 1

дж м 1 , м 2	4	3	2	1
2, −1	${\sqrt {\frac {1}{14}}}$	${\sqrt {\frac {3}{10}}}$	${\sqrt {\frac {3}{7}}}$	${\sqrt {\frac {1}{5}}}$
1, 0	${\sqrt {\frac {3}{7}}}$	${\sqrt {\frac {1}{5}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{14}}}$	$-{\sqrt {\frac {3}{10}}}$
0, 1	${\sqrt {\frac {3}{7}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{5}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{14}}}$	${\sqrt {\frac {3}{10}}}$
−1, 2	${\sqrt {\frac {1}{14}}}$	$-{\sqrt {\frac {3}{10}}}$	${\sqrt {\frac {3}{7}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{5}}}$

м = 0

дж м 1 , м 2	4	3	2	1	0
2, −2	${\sqrt {\frac {1}{70}}}$	${\sqrt {\frac {1}{10}}}$	${\sqrt {\frac {2}{7}}}$	${\sqrt {\frac {2}{5}}}$	${\sqrt {\frac {1}{5}}}$
1, −1	${\sqrt {\frac {8}{35}}}$	${\sqrt {\frac {2}{5}}}$	${\sqrt {\frac {1}{14}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{10}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{5}}}$
0, 0	${\sqrt {\frac {18}{35}}}$	$0$	$-{\sqrt {\frac {2}{7}}}$	$0$	${\sqrt {\frac {1}{5}}}$
−1, 1	${\sqrt {\frac {8}{35}}}$	$-{\sqrt {\frac {2}{5}}}$	${\sqrt {\frac {1}{14}}}$	${\sqrt {\frac {1}{10}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{5}}}$
−2, 2	${\sqrt {\frac {1}{70}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{10}}}$	${\sqrt {\frac {2}{7}}}$	$-{\sqrt {\frac {2}{5}}}$	${\sqrt {\frac {1}{5}}}$

 j ₁ = 5/2 ​ ​ ⁠ , j ₂ = ⁠ 1 / 2 ⁠

м = 3

дж м 1 , м 2	3
⁠ 5 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠	$1$

м = 2

дж м 1 , м 2	3	2
⁠ 5 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{6}}}$	${\sqrt {\frac {5}{6}}}$
⁠ 3 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {5}{6}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{6}}}$

м = 1

дж м 1 , м 2	3	2
⁠ 3 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{3}}}$	${\sqrt {\frac {2}{3}}}$
⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {2}{3}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{3}}}$

м = 0

дж м 1 , м 2	3	2
⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$
− ⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{2}}}$

 j ₁ = ⁠ 5 / 2 ⁠ , j ₂ знак равно 1

м = ⁠ 7 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 7 / 2 ⁠
⁠ 5 / 2 ⁠ , 1	$1$

м = ⁠ 5 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 7 / 2 ⁠	⁠ 5 / 2 ⁠
⁠ 5 / 2 ⁠ , 0	${\sqrt {\frac {2}{7}}}$	${\sqrt {\frac {5}{7}}}$
⁠ 3 / 2 ⁠ , 1	${\sqrt {\frac {5}{7}}}$	$-{\sqrt {\frac {2}{7}}}$

м = ⁠ 3 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 7 / 2 ⁠	⁠ 5 / 2 ⁠	⁠ 3 / 2 ⁠
⁠ 5 / 2 ⁠ , −1	${\sqrt {\frac {1}{21}}}$	${\sqrt {\frac {2}{7}}}$	${\sqrt {\frac {2}{3}}}$
⁠ 3 / 2 ⁠ , 0	${\sqrt {\frac {10}{21}}}$	${\sqrt {\frac {9}{35}}}$	$-{\sqrt {\frac {4}{15}}}$
⁠ 1 / 2 ⁠ , 1	${\sqrt {\frac {10}{21}}}$	$-{\sqrt {\frac {16}{35}}}$	${\sqrt {\frac {1}{15}}}$

м = ⁠ 1 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 7 / 2 ⁠	⁠ 5 / 2 ⁠	⁠ 3 / 2 ⁠
⁠ 3 / 2 ⁠ , −1	${\sqrt {\frac {1}{7}}}$	${\sqrt {\frac {16}{35}}}$	${\sqrt {\frac {2}{5}}}$
⁠ 1 / 2 ⁠ , 0	${\sqrt {\frac {4}{7}}}$	${\sqrt {\frac {1}{35}}}$	$-{\sqrt {\frac {2}{5}}}$
− ⁠ 1 / 2 ⁠ , 1	${\sqrt {\frac {2}{7}}}$	$-{\sqrt {\frac {18}{35}}}$	${\sqrt {\frac {1}{5}}}$

 j ₁ = 5/2 ​ ​ ⁠ , j ₂ = ⁠ 3 / 2 ⁠

м = 4

дж м 1 , м 2	4
⁠ 5 / 2 ⁠ ,  ⁠ 3 / 2 ⁠	$1$

м = 3

дж м 1 , м 2	4	3
⁠ 5 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {3}{8}}}$	${\sqrt {\frac {5}{8}}}$
⁠ 3 / 2 ⁠ ,  ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {5}{8}}}$	$-{\sqrt {\frac {3}{8}}}$

м = 2

дж м 1 , м 2	4	3	2
⁠ 5 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {3}{28}}}$	${\sqrt {\frac {5}{12}}}$	${\sqrt {\frac {10}{21}}}$
⁠ 3 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {15}{28}}}$	${\sqrt {\frac {1}{12}}}$	$-{\sqrt {\frac {8}{21}}}$
⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {5}{14}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{2}}}$	${\sqrt {\frac {1}{7}}}$

м = 1

дж м 1 , м 2	4	3	2	1
⁠ 5 / 2 ⁠ , − ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{56}}}$	${\sqrt {\frac {1}{8}}}$	${\sqrt {\frac {5}{14}}}$	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$
⁠ 3 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {15}{56}}}$	${\sqrt {\frac {49}{120}}}$	${\sqrt {\frac {1}{42}}}$	$-{\sqrt {\frac {3}{10}}}$
⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {15}{28}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{60}}}$	$-{\sqrt {\frac {25}{84}}}$	${\sqrt {\frac {3}{20}}}$
− ⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {5}{28}}}$	$-{\sqrt {\frac {9}{20}}}$	${\sqrt {\frac {9}{28}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{20}}}$

м = 0

дж м 1 , м 2	4	3	2	1
⁠ 3 / 2 ⁠ , − ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{14}}}$	${\sqrt {\frac {3}{10}}}$	${\sqrt {\frac {3}{7}}}$	${\sqrt {\frac {1}{5}}}$
⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {3}{7}}}$	${\sqrt {\frac {1}{5}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{14}}}$	$-{\sqrt {\frac {3}{10}}}$
− ⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {3}{7}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{5}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{14}}}$	${\sqrt {\frac {3}{10}}}$
− ⁠ 3 / 2 ⁠ ,  ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{14}}}$	$-{\sqrt {\frac {3}{10}}}$	${\sqrt {\frac {3}{7}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{5}}}$

 j ₁ = ⁠ 5 / 2 ⁠ , j ₂ знак равно 2

м = ⁠ 9 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 9 / 2 ⁠
⁠ 5 / 2 ⁠ , 2	$1$

м = ⁠ 7 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 9 / 2 ⁠	⁠ 7 / 2 ⁠
⁠ 5 / 2 ⁠ , 1	${\frac {2}{3}}$	${\sqrt {\frac {5}{9}}}$
⁠ 3 / 2 ⁠ , 2	${\sqrt {\frac {5}{9}}}$	$-{\frac {2}{3}}$

м = ⁠ 5 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 9 / 2 ⁠	⁠ 7 / 2 ⁠	⁠ 5 / 2 ⁠
⁠ 5 / 2 ⁠ , 0	${\sqrt {\frac {1}{6}}}$	${\sqrt {\frac {10}{21}}}$	${\sqrt {\frac {5}{14}}}$
⁠ 3 / 2 ⁠ , 1	${\sqrt {\frac {5}{9}}}$	${\sqrt {\frac {1}{63}}}$	$-{\sqrt {\frac {3}{7}}}$
⁠ 1 / 2 ⁠ , 2	${\sqrt {\frac {5}{18}}}$	$-{\sqrt {\frac {32}{63}}}$	${\sqrt {\frac {3}{14}}}$

м = ⁠ 3 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 9 / 2 ⁠	⁠ 7 / 2 ⁠	⁠ 5 / 2 ⁠	⁠ 3 / 2 ⁠
⁠ 5 / 2 ⁠ , −1	${\sqrt {\frac {1}{21}}}$	${\sqrt {\frac {5}{21}}}$	${\sqrt {\frac {3}{7}}}$	${\sqrt {\frac {2}{7}}}$
⁠ 3 / 2 ⁠ , 0	${\sqrt {\frac {5}{14}}}$	${\sqrt {\frac {2}{7}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{70}}}$	$-{\sqrt {\frac {12}{35}}}$
⁠ 1 / 2 ⁠ , 1	${\sqrt {\frac {10}{21}}}$	$-{\sqrt {\frac {2}{21}}}$	$-{\sqrt {\frac {6}{35}}}$	${\sqrt {\frac {9}{35}}}$
− ⁠ 1 / 2 ⁠ , 2	${\sqrt {\frac {5}{42}}}$	$-{\sqrt {\frac {8}{21}}}$	${\sqrt {\frac {27}{70}}}$	$-{\sqrt {\frac {4}{35}}}$

м = ⁠ 1 / 2 ⁠

дж м 1 , м 2	⁠ 9 / 2 ⁠	⁠ 7 / 2 ⁠	⁠ 5 / 2 ⁠	⁠ 3 / 2 ⁠	⁠ 1 / 2 ⁠
⁠ 5 / 2 ⁠ , −2	${\sqrt {\frac {1}{126}}}$	${\sqrt {\frac {4}{63}}}$	${\sqrt {\frac {3}{14}}}$	${\sqrt {\frac {8}{21}}}$	${\sqrt {\frac {1}{3}}}$
⁠ 3 / 2 ⁠ , −1	${\sqrt {\frac {10}{63}}}$	${\sqrt {\frac {121}{315}}}$	${\sqrt {\frac {6}{35}}}$	$-{\sqrt {\frac {2}{105}}}$	$-{\sqrt {\frac {4}{15}}}$
⁠ 1 / 2 ⁠ , 0	${\sqrt {\frac {10}{21}}}$	${\sqrt {\frac {4}{105}}}$	$-{\sqrt {\frac {8}{35}}}$	$-{\sqrt {\frac {2}{35}}}$	${\sqrt {\frac {1}{5}}}$
− ⁠ 1 / 2 ⁠ , 1	${\sqrt {\frac {20}{63}}}$	$-{\sqrt {\frac {14}{45}}}$	$0$	${\sqrt {\frac {5}{21}}}$	$-{\sqrt {\frac {2}{15}}}$
− ⁠ 3 / 2 ⁠ , 2	${\sqrt {\frac {5}{126}}}$	$-{\sqrt {\frac {64}{315}}}$	${\sqrt {\frac {27}{70}}}$	$-{\sqrt {\frac {32}{105}}}$	${\sqrt {\frac {1}{15}}}$

 j ₁ = 5/2 ​ ​ ⁠ , j ₂ = ⁠ 5 / 2 ⁠

м = 5

дж м 1 , м 2	5
⁠ 5 / 2 ⁠ ,  ⁠ 5 / 2 ⁠	$1$

м = 4

дж м 1 , м 2	5	4
⁠ 5 / 2 ⁠ ,  ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$
⁠ 3 / 2 ⁠ ,  ⁠ 5 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{2}}}$

м = 3

дж м 1 , м 2	5	4	3
⁠ 5 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {2}{9}}}$	${\sqrt {\frac {1}{2}}}$	${\sqrt {\frac {5}{18}}}$
⁠ 3 / 2 ⁠ ,  ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {5}{9}}}$	$0$	$-{\frac {2}{3}}$
⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 5 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {2}{9}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{2}}}$	${\sqrt {\frac {5}{18}}}$

м = 2

дж м 1 , м 2	5	4	3	2
⁠ 5 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{12}}}$	${\sqrt {\frac {9}{28}}}$	${\sqrt {\frac {5}{12}}}$	${\sqrt {\frac {5}{28}}}$
⁠ 3 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {5}{12}}}$	${\sqrt {\frac {5}{28}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{12}}}$	$-{\sqrt {\frac {9}{28}}}$
⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {5}{12}}}$	$-{\sqrt {\frac {5}{28}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{12}}}$	${\sqrt {\frac {9}{28}}}$
− ⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 5 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{12}}}$	$-{\sqrt {\frac {9}{28}}}$	${\sqrt {\frac {5}{12}}}$	$-{\sqrt {\frac {5}{28}}}$

м = 1

дж м 1 , м 2	5	4	3	2	1
⁠ 5 / 2 ⁠ , − ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{42}}}$	${\sqrt {\frac {1}{7}}}$	${\sqrt {\frac {1}{3}}}$	${\sqrt {\frac {5}{14}}}$	${\sqrt {\frac {1}{7}}}$
⁠ 3 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {5}{21}}}$	${\sqrt {\frac {5}{14}}}$	${\sqrt {\frac {1}{30}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{7}}}$	$-{\sqrt {\frac {8}{35}}}$
⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {10}{21}}}$	$0$	$-{\sqrt {\frac {4}{15}}}$	$0$	${\sqrt {\frac {9}{35}}}$
− ⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {5}{21}}}$	$-{\sqrt {\frac {5}{14}}}$	${\sqrt {\frac {1}{30}}}$	${\sqrt {\frac {1}{7}}}$	$-{\sqrt {\frac {8}{35}}}$
− ⁠ 3 / 2 ⁠ ,  ⁠ 5 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{42}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{7}}}$	${\sqrt {\frac {1}{3}}}$	$-{\sqrt {\frac {5}{14}}}$	${\sqrt {\frac {1}{7}}}$

м = 0

дж м 1 , м 2	5	4	3	2	1	0
⁠ 5 / 2 ⁠ , − ⁠ 5 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{252}}}$	${\sqrt {\frac {1}{28}}}$	${\sqrt {\frac {5}{36}}}$	${\sqrt {\frac {25}{84}}}$	${\sqrt {\frac {5}{14}}}$	${\sqrt {\frac {1}{6}}}$
⁠ 3 / 2 ⁠ , − ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {25}{252}}}$	${\sqrt {\frac {9}{28}}}$	${\sqrt {\frac {49}{180}}}$	${\sqrt {\frac {1}{84}}}$	$-{\sqrt {\frac {9}{70}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{6}}}$
⁠ 1 / 2 ⁠ , − ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {25}{63}}}$	${\sqrt {\frac {1}{7}}}$	$-{\sqrt {\frac {4}{45}}}$	$-{\sqrt {\frac {4}{21}}}$	${\sqrt {\frac {1}{70}}}$	${\sqrt {\frac {1}{6}}}$
− ⁠ 1 / 2 ⁠ ,  ⁠ 1 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {25}{63}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{7}}}$	$-{\sqrt {\frac {4}{45}}}$	${\sqrt {\frac {4}{21}}}$	${\sqrt {\frac {1}{70}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{6}}}$
− ⁠ 3 / 2 ⁠ ,  ⁠ 3 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {25}{252}}}$	$-{\sqrt {\frac {9}{28}}}$	${\sqrt {\frac {49}{180}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{84}}}$	$-{\sqrt {\frac {9}{70}}}$	${\sqrt {\frac {1}{6}}}$
− ⁠ 5 / 2 ⁠ ,  ⁠ 5 / 2 ⁠	${\sqrt {\frac {1}{252}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{28}}}$	${\sqrt {\frac {5}{36}}}$	$-{\sqrt {\frac {25}{84}}}$	${\sqrt {\frac {5}{14}}}$	$-{\sqrt {\frac {1}{6}}}$

SU(N) коэффициенты Клебша – Гордана

Алгоритмы получения коэффициентов Клебша – Гордана для более высоких значений $j_{1}$ и $j_{2}$, или для алгебры su(N) вместо su(2). Веб -интерфейс для табулирования коэффициентов Клебша – Гордана SU(N) легко доступен.

Внешние ссылки

• Онлайн- Java на основе калькулятор коэффициентов Клебша – Гордана , автор Пол Стивенсон
• Другие формулы для коэффициентов Клебша – Гордана.
• Веб-интерфейс для табулирования коэффициентов Клебша–Гордана SU(N)