Полиномиальный тест

В статистике полиномиальный тест — это проверка нулевой гипотезы о том, что параметры полиномиального распределения равны заданным значениям; он используется для категориальных данных .

Начиная с образца $~N~$ предметы, каждый из которых, как было замечено, попадает в один из $k$ категории. Можно определить $~\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})~$ как наблюдаемое количество элементов в каждой ячейке. Следовательно $~\sum _{i=1}^{k}x_{i}=N~.$

Далее определяем вектор параметров $~H_{0}:{\boldsymbol {\pi }}=(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{k})~,$ где: $~\sum _{i=1}^{k}\pi _{i}=1~.$Это значения параметров при нулевой гипотезе .

Точная вероятность наблюдаемой конфигурации $~\mathbf {x} ~$ при нулевой гипотезе определяется выражением

$~\operatorname {\mathbb {P} } \left(\mathbf {x} \right)_{0}=N!\,\prod _{i=1}^{k}{\frac {\pi _{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}}~.$

Вероятность значимости для теста — это вероятность появления наблюдаемого набора данных или набора данных, менее вероятного, чем наблюдаемый, если нулевая гипотеза верна. Используя точный тест , это рассчитывается как

$~p_{\mathcal {[sig]}}=\sum _{\mathbf {y} \,:\;\operatorname {\mathbb {P} } \left(\mathbf {y} \right)\,\leq \,\operatorname {\mathbb {P} } \left(\mathbf {x} \right)_{0}}\operatorname {\mathbb {P} } \left(\mathbf {y} \right)~$

где сумма колеблется по всем исходам, столь же вероятным, как наблюдаемый, или менее вероятным. На практике это становится вычислительно обременительным, поскольку $~k~$ и $~N~$ увеличивается, поэтому, вероятно, стоит использовать точные тесты только для небольших выборок. Для более крупных выборок асимптотические приближения достаточно точны и их легче вычислить.

Одним из таких приближений является отношение правдоподобия . согласно которой каждое значение альтернативную гипотезу, Можно определить $~\pi _{i}~$ заменяется оценкой максимального правдоподобия $~p_{i}={\frac {\;x_{i}\,}{N}}~.$ Точная вероятность наблюдаемой конфигурации $~\mathbf {x} ~$ согласно альтернативной гипотезе определяется выражением

$~\operatorname {\mathbb {P} } \left(\mathbf {x} \right)_{A}=N!\;\prod _{i=1}^{k}{\frac {\;p_{i}^{x_{i}}\,}{x_{i}!}}~.$

Натуральный логарифм отношения правдоподобия, $~[{\mathcal {LR}}]~,$ между этими двумя вероятностями, умноженными на $~-2~,$ тогда это статистика для теста отношения правдоподобия

$~-2\ln([{\mathcal {LR}}])=-2\;\sum _{i=1}^{k}x_{i}\ln \left({\frac {\pi _{i}}{p_{i}}}\right)~.$

(Фактор $~-2~$ выбран для того, чтобы сделать статистику асимптотически распределенной по хи-квадрату для удобного сравнения со знакомой статистикой, обычно используемой для того же приложения.)

Если нулевая гипотеза верна, то как $~N~$ увеличивается, распространение $~-2\ln([{\mathcal {LR}}])~$ сходится к хи-квадрату с $~k-1~$ степени свободы. Однако давно известно (например, Лоули ), что для конечных объемов выборки моменты $~-2\ln([{\mathcal {LR}}])~$ больше, чем у хи-квадрат, что увеличивает вероятность ошибок типа I (ложных срабатываний). Разница между моментами хи-квадрат и моментами тестовой статистики является функцией $~N^{-1}~.$ Уильямс показал, что первый момент можно сопоставить, если $~N^{-2}~$ если статистика теста делится на коэффициент, определяемый формулой

$~q_{1}=1+{\frac {\;\sum _{i=1}^{k}\pi _{i}^{-1}\,-\,1\;}{6N(k-1)}}~.$

В особом случае, когда нулевая гипотеза состоит в том, что все значения $\pi _{i}$ равны $~1/k~$ (т.е. предусматривает равномерное распределение), это упрощает

$~q_{1}=1+{\frac {\,k+1\,}{\,6N\,}}~.$

Впоследствии Смит и др . вывел делительный множитель, который соответствует первому моменту, насколько $~N^{-3}~.$ В случае равных значений $~\pi _{i}~,$ этот фактор

$~q_{2}=1+{\frac {\,k+1\,}{\,6N\,}}+{\frac {\;k^{2}\,}{\;6N^{2}\,}}~.$

Нулевую гипотезу также можно проверить с помощью критерия хи-квадрат Пирсона.

$~\chi ^{2}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\;(x_{i}-E_{i})^{2}\,}{E_{i}}}~$

где $~E_{i}=N\pi _{i}~$ ожидаемое количество случаев в категории $~i~$ при нулевой гипотезе. Эта статистика также сходится к распределению хи-квадрат с $~k-1~$ степеней свободы, когда нулевая гипотеза верна, но делает это как бы снизу, а не сверху, как $~-2\ln([{\mathcal {LR}}])~$ делает, поэтому может быть предпочтительнее неисправленной версии $~-2\ln([{\mathcal {LR}}])~$ для небольших выборок.