Тест Адамара

В квантовых вычислениях тест Адамара — это метод, используемый для создания случайной величины которой , ожидаемое значение является ожидаемой действительной частью. $\mathrm {Re} \langle \psi |U|\psi \rangle$, где $|\psi \rangle$ является квантовым состоянием и $U$ — унитарный вентиль, действующий в пространстве $|\psi \rangle$. Тест Адамара создает случайную величину, изображение которой находится в $\{\pm 1\}$ и чье математическое ожидание в точности равно $\mathrm {Re} \langle \psi |U|\psi \rangle$. Можно модифицировать схему, чтобы получить случайную величину, ожидаемое значение которой равно $\mathrm {Im} \langle \psi |U|\psi \rangle$ путем применения $S^{\dagger }$ ворота после первых ворот Адамара.

Описание схемы

Чтобы выполнить тест Адамара, мы сначала вычисляем состояние ${\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle \right)\otimes \left|\psi \right\rangle$. Затем мы применяем унитарный оператор к $\left|\psi \right\rangle$ обусловлено первым кубитом для получения состояния ${\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle \otimes \left|\psi \right\rangle +\left|1\right\rangle \otimes U\left|\psi \right\rangle \right)$. Затем мы применяем вентиль Адамара к первому кубиту, получая ${\frac {1}{2}}\left(\left|0\right\rangle \otimes (I+U)\left|\psi \right\rangle +\left|1\right\rangle \otimes (I-U)\left|\psi \right\rangle \right)$.

Измерив первый кубит, результат $\left|0\right\rangle$ с вероятностью ${\frac {1}{4}}\langle \psi |(I+U^{\dagger })(I+U)|\psi \rangle$, и в этом случае мы выводим $1$. Результат $\left|1\right\rangle$ с вероятностью ${\frac {1}{4}}\langle \psi |(I-U^{\dagger })(I-U)|\psi \rangle$, и в этом случае мы выводим $-1$. Тогда ожидаемое значение результата будет разницей между двумя вероятностями, которая равна ${\frac {1}{2}}\langle \psi |(U^{\dagger }+U)|\psi \rangle =\mathrm {Re} \langle \psi |U|\psi \rangle$

Чтобы получить случайную величину, математическое ожидание которой равно $\mathrm {Im} \langle \psi |U|\psi \rangle$ выполните точно такую ​​же процедуру, но начните с ${\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|0\right\rangle -i\left|1\right\rangle \right)\otimes \left|\psi \right\rangle$.

Тест Адамара имеет множество применений в квантовых алгоритмах, таких как алгоритм Ааронова-Джонса-Ландау . С помощью очень простой модификации его можно использовать для вычисления внутреннего продукта между двумя состояниями. $|\phi _{1}\rangle$ и $|\phi _{2}\rangle$: вместо того, чтобы начинать с состояния $|\psi \rangle$ достаточно начать с основного состояния $|0\rangle$и выполнить две контролируемые операции над вспомогательным кубитом. Контролируется вспомогательным регистром $|0\rangle$, мы применяем унитарную единицу, которая производит $|\phi _{1}\rangle$ во втором регистре и контролируется вспомогательным регистром, находящимся в состоянии $|1\rangle$, мы создаем $|\phi _{2}\rangle$ во втором регистре. Ожидаемое значение измерений вспомогательных кубитов приводит к оценке $\langle \phi _{1}|\phi _{2}\rangle$. Количество выборок, необходимых для оценки ожидаемого значения с абсолютной ошибкой. $\epsilon$ является $O\left({\frac {1}{\epsilon ^{2}}}\right)$, из-за границы Чернова . Это значение можно улучшить до $O\left({\frac {1}{\epsilon }}\right)$ с использованием методов оценки амплитуды .

Ссылки

,