Факультативная теорема Крамкова о разложении

В вероятностей теории необязательная теорема о разложении Крамкова (или просто необязательная теорема о разложении ) — математическая теорема о разложении положительного супермартингала. $V$ относительно семейства эквивалентных мартингальных мер в виде

$V_{t}=V_{0}+(H\cdot X)_{t}-C_{t},\quad t\geq 0,$

где $C$ представляет собой адаптированный (или необязательный ) процесс.

Теорема представляет особый интерес для финансовой математики , где интерпретация такова: $V$ это процесс обогащения трейдера , $(H\cdot X)$ это прибыль/убыток и $C$ процесс потребления.

Теорему доказал в 1994 году российский математик Дмитрий Крамков . Теорема названа в честь разложения Дуба-Мейера, но в отличие от нее процесс $C$ больше не предсказуем, а только адаптирован (что, по условию оператора, то же самое, что иметь дело с необязательным процессом ).

Факультативная теорема Крамкова о разложении

Позволять $(\Omega ,{\mathcal {A}},\{{\mathcal {F}}_{t}\},P)$ — фильтрованное вероятностное пространство с фильтрацией, удовлетворяющей обычным условиям .

А $d$-мерный процесс $X=(X^{1},\dots ,X^{d})$ если локально ограничен, существует последовательность моментов остановки $(\tau _{n})_{n\geq 1}$ такой, что $\tau _{n}\to \infty$ почти наверняка, если $n\to \infty$ и $|X_{t}^{i}|\leq n$ для $1\leq i\leq d$ и $t\leq \tau _{n}$.

Заявление

Позволять $X=(X^{1},\dots ,X^{d})$ быть $d$-мерный процесс càdlàg (или RCLL), локально ограниченный. Позволять $M(X)\neq \emptyset$ — пространство эквивалентных локальных мартингальных мер для $X$ и без ограничения общности предположим $P\in M(X)$.

Позволять $V$ будет положительным случайным процессом, тогда $V$ это $Q$- супермартингейл для каждого $Q\in M(X)$ тогда и только тогда, когда существует $X$-интегрируемый и предсказуемый процесс $H$ и адаптированный процесс увеличения $C$ такой, что

$V_{t}=V_{0}+(H\cdot X)_{t}-C_{t},\quad t\geq 0.$

Комментарий

Это утверждение остается верным даже при замене меры на эквивалентную.