Метод триады

Метод TRIAD — самый ранний опубликованный алгоритм определения ориентации космического корабля, который впервые был представлен Гарольдом Блэком в 1964 году. ^[1]^[2]^[3] Учитывая знание двух векторов в координатах отсчета и тела спутника, алгоритм TRIAD получает матрицу направляющих косинусов, относящуюся к обоим кадрам. Гарольд Блэк сыграл ключевую роль в разработке системы наведения, навигации и контроля спутниковой системы Transit ВМС США в лабораториях прикладной физики Джона Хопкинса. ТРИАДА представляла собой состояние практики определения положения космического корабля до появления проблемы Вахбы . ^[4] и несколько ее оптимальных решений. Ковариационный анализ решения Блэка впоследствии был предоставлен Маркли. ^[5]

Краткое содержание

Во-первых, рассматриваются линейно независимые опорные векторы ${\vec {R}}_{1}$ и ${\vec {R}}_{2}$ . Позволять ${\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2}$ быть соответствующими измеренными направлениями опорных единичных векторов, разрешенными в фиксированной системе отсчета тела. После этого они связаны уравнениями:

${\vec {R}}_{i}=A{\vec {r}}_{i}$

( 1 )

для $i=1,2$ , где $A$ — матрица вращения (иногда также известная как собственная ортогональная матрица , т. е. $A^{T}A=I,det(A)=+1$ ). $A$ преобразует векторы в фиксированном кадре тела в кадр опорных векторов. Помимо других свойств, матрицы вращения сохраняют длину вектора, с которым они работают. Обратите внимание, что матрица направляющего косинуса $A$ также преобразует вектор векторного произведения, записанный как

${\vec {R}}_{1}\times {\vec {R}}_{2}=A\left({\vec {r}}_{1}\times {\vec {r}}_{2}\right)$

( 2 )

TRIAD предлагает оценку матрицы направляющего косинуса $A$ как решение уравнений линейной системы, заданных формулой

$\left[{\vec {R}}_{1}~\vdots ~{\vec {R}}_{2}~\vdots ~\left({\vec {R}}_{1}\times {\vec {R}}_{2}\right)\right]=A\left[{\vec {r}}_{1}~\vdots ~{\vec {r}}_{2}~\vdots ~\left({\vec {r}}_{1}\times {\vec {r}}_{2}\right)\right]$

( 3 )

где $\vdots$ использовались для разделения различных векторов-столбцов.

Представленное выше решение хорошо работает в бесшумном случае. Однако на практике ${\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2}$ являются зашумленными, и описанная выше процедура не сохраняет условие ортогональности матрицы ориентации (или матрицы направляющего косинуса). TRIAD включает следующую элегантную процедуру для решения этой проблемы. С этой целью определяются единичные векторы,

${\hat {S}}={\frac {{\vec {R}}_{1}}{||{\vec {R}}_{1}||}}$

( 4 )

${\hat {s}}={\frac {{\vec {r}}_{1}}{||{\vec {r}}_{1}||}}$

( 5 )

и

${\hat {M}}={\frac {{\vec {R}}_{1}\times {\vec {R}}_{2}}{||{\vec {R}}_{1}\times {\vec {R}}_{2}||}}$

( 6 )

${\hat {m}}={\frac {{\vec {r}}_{1}\times {\vec {r}}_{2}}{||{\vec {r}}_{1}\times {\vec {r}}_{2}||}}$

( 7 )

использоваться вместо первых двух столбцов уравнения ( 3 ). Их векторное произведение используется в качестве третьего столбца в линейной системе уравнений, получая правильную ортогональную матрицу для положения космического корабля, определяемую следующим образом:

$\left[{\hat {S}}~\vdots ~{\hat {M}}~\vdots ~{\hat {S}}\times {\hat {M}}\right]=A\left[{\hat {s}}~\vdots ~{\hat {m}}~\vdots ~{\hat {s}}\times {\hat {m}}\right]$

( 8 )

Хотя нормализация уравнений ( 4 )–( 7 ) не является необходимой, она была проведена для достижения вычислительного преимущества при решении линейной системы уравнений в ( 8 ). Таким образом, оценка положения космического корабля дается правильной ортогональной матрицей как

${\hat {A}}=\left[{\hat {S}}~\vdots ~{\hat {M}}~\vdots ~{\hat {S}}\times {\hat {M}}\right].\left[{\hat {s}}~\vdots ~{\hat {m}}~\vdots ~{\hat {s}}\times {\hat {m}}\right]^{T}$

( 9 )

Обратите внимание, что вычислительная эффективность в этой процедуре была достигнута за счет замены обратной матрицы транспонированием. Это возможно, потому что каждая из матриц, участвующих в вычислении отношения, состоит из ТРИАДЫ ортонормированных базисных векторов. «ТРИАДА» получила свое название от этого наблюдения.

Матрица отношений TRIAD и направленность измерений

Важно отметить, что метод TRIAD всегда создает правильную ортогональную матрицу независимо от направленности опорных векторов и векторов тела, используемых в процессе оценки. Это можно показать следующим образом: В матричной форме задано

$\Gamma =A\Delta$

( 10 )

где $\Gamma :=\left[{\hat {S}}~\vdots ~{\hat {M}}~\vdots ~{\hat {S}}\times {\hat {M}}\right]$ и $\Delta =\left[{\hat {s}}~\vdots ~{\hat {m}}~\vdots ~{\hat {s}}\times {\hat {m}}\right].$ Обратите внимание: если столбцы $\Gamma$ образуют левую ТРИАДУ, тогда столбцы $\Delta$ также являются левыми из-за однозначного соответствия между векторами. Это связано с тем простым фактом, что в евклидовой геометрии угол между любыми двумя векторами остается инвариантным для преобразований координат. Следовательно, определитель $det\left(\Gamma \right)$ является $1$ или $-1$ в зависимости от того, являются ли его столбцы правыми или левыми соответственно (аналогично, $\Delta =\pm 1$ ). Взяв определитель с обеих сторон соотношения в уравнении. ( 10 ), можно сделать вывод, что

$det\left(A\right)=1.$

( 11 )

Это весьма полезно в практических приложениях, поскольку аналитику всегда гарантируется правильная ортогональная матрица, независимо от природы эталонных и измеряемых векторных величин.

Приложения

TRIAD использовался в качестве метода определения ориентации для обработки телеметрических данных спутниковой системы Transit (используемой ВМС США для навигации). Принципы Транзитной системы привели к созданию спутниковой группировки глобальной системы позиционирования. В прикладной задаче опорными векторами обычно являются известные направления (например, звезды, магнитное поле Земли, вектор гравитации и т. д.). Фиксированные векторы тела — это измеренные направления, наблюдаемые бортовым датчиком (например, звездным трекером, магнитометром и т. д.). Благодаря достижениям в области микроэлектроники алгоритмы определения отношения, такие как TRIAD, нашли свое место в различных устройствах (например, смартфонах, автомобилях, планшетах, БПЛА и т. д.), оказывая широкое влияние на современное общество.

См. также

Ссылки

^ Блэк, Гарольд (июль 1964 г.). «Пассивная система определения ориентации спутника». Журнал АИАА . 2 (7): 1350–1351. Бибкод : 1964AIAAJ...2.1350. . дои : 10.2514/3.2555 .
^ Блэк, Гарольд (июль – август 1990 г.). «Ранние разработки транзита, навигационная спутниковая система ВМФ». Журнал управления, контроля и динамики . 13 (4): 577–585. Бибкод : 1990JGCD...13..577B . дои : 10.2514/3.25373 .
^ Маркли, Ф. Лэндис (1999). «Определение отношения с использованием двух векторных измерений» . Симпозиум по механике полета 1999 г .: 2 - через ResearchGate.
^ Вахба, Грейс (июль 1966 г.). «Оценка ориентации спутника методом наименьших квадратов, задача 65.1». Обзор СИАМ . 8 : 385–386. дои : 10.1137/1008080 .
^ Маркли, Лэндис (апрель – июнь 1993 г.). «Определение отношения с использованием векторных наблюдений: быстрый оптимальный матричный алгоритм» (PDF) . Журнал астронавтических наук . 41 (2): 261–280 . Проверено 18 апреля 2012 г.

[1] Блэк, Гарольд (июль 1964 г.). «Пассивная система определения ориентации спутника». Журнал АИАА . 2 (7): 1350–1351. Бибкод : 1964AIAAJ...2.1350. . дои : 10.2514/3.2555 .

[2] Блэк, Гарольд (июль – август 1990 г.). «Ранние разработки транзита, навигационная спутниковая система ВМФ». Журнал управления, контроля и динамики . 13 (4): 577–585. Бибкод : 1990JGCD...13..577B . дои : 10.2514/3.25373 .

[3] Маркли, Ф. Лэндис (1999). «Определение отношения с использованием двух векторных измерений» . Симпозиум по механике полета 1999 г .: 2 - через ResearchGate.

[4] Вахба, Грейс (июль 1966 г.). «Оценка ориентации спутника методом наименьших квадратов, задача 65.1». Обзор СИАМ . 8 : 385–386. дои : 10.1137/1008080 .

[5] Маркли, Лэндис (апрель – июнь 1993 г.). «Определение отношения с использованием векторных наблюдений: быстрый оптимальный матричный алгоритм» (PDF) . Журнал астронавтических наук . 41 (2): 261–280 . Проверено 18 апреля 2012 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]