Проблема Вахбы

В прикладной математике проблема Вахбы , впервые поставленная Грейс Вахба в 1965 году, направлена на нахождение матрицы вращения ( специальной ортогональной матрицы ) между двумя системами координат из набора (взвешенных) векторных наблюдений. Решения проблемы Вахбы часто используются при спутников определении ориентации с использованием таких датчиков, как магнитометры и многоантенные GPS-приемники . Функция стоимости, которую пытается минимизировать задача Вахбы, выглядит следующим образом:

J(\mathbf {R} )={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}a_{k}\|\mathbf {w} _{k}-\mathbf {R} \mathbf {v} _{k}\|^{2}

для

N\geq 2

где $\mathbf {w} _{k}$ – k -е 3-векторное измерение в системе отсчёта, $\mathbf {v} _{k}$ – соответствующее k -е 3-векторное измерение в кадре тела и $\mathbf {R}$ представляет собой матрицу вращения 3 на 3 между системами координат. ^{[ 1 ]} $a_{k}$ — это необязательный набор весов для каждого наблюдения.

В литературе появился ряд решений проблемы, в частности, q-метод Давенпорта. ^{[ 2 ]} КВЕСТ и методы, основанные на сингулярном разложении (СВД). Несколько методов решения проблемы Вахбы обсуждаются Маркли и Мортари.

Это альтернативная формулировка ортогональной проблемы Прокруста (рассмотрим все векторы, умноженные на квадратные корни из соответствующих весов, как столбцы двух матриц с N столбцами, чтобы получить альтернативную формулировку). Элегантный вывод решения на полутора страницах можно найти в . ^{[ 3 ]}

Решение через СВД

Одно из решений можно найти с помощью сингулярного разложения (SVD).

1. Получить матрицу $\mathbf {B}$ следующее:

\mathbf {B} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {w} _{i}{\mathbf {v} _{i}}^{T}

2. Найдите разложение сингулярное $\mathbf {B}$

\mathbf {B} =\mathbf {U} \mathbf {S} \mathbf {V} ^{T}

3. Матрица вращения проста:

\mathbf {R} =\mathbf {U} \mathbf {M} \mathbf {V} ^{T}

где $\mathbf {M} =\operatorname {diag} ({\begin{bmatrix}1&1&\det(\mathbf {U} )\det(\mathbf {V} )\end{bmatrix}})$

Примечания

^ Вращение $\mathbf {R}$ в определении задачи преобразует кадр тела в опорный кадр. В большинстве публикаций вращение определяется в обратном направлении, т.е. от привязки к корпусу тела, что составляет $\mathbf {R} ^{T}$ .
^ «Q-метод Давенпорта (нахождение ориентации, соответствующей набору точечных выборок)» . Математический обмен стеками . Проверено 23 июля 2020 г.
^ Аппель, М. «Надежное обнаружение и устранение спуфинга на основе оценки направления прибытия» (PDF) . Ион ГНСС+ 2015 . 28 .

Ссылки

Вахба, Г. Задача 65–1: Оценка положения спутника методом наименьших квадратов , SIAM Review, 1965, 7 (3), 409
Шустер, доктор медицинских наук и О, С.Д. Определение трехосного положения на основе векторных наблюдений , Журнал руководства и контроля, 1981, 4 (1): 70–77.
Маркли, Флорида. Определение отношения с использованием векторных наблюдений и разложение по сингулярным значениям , Журнал астронавтических наук, 1988, 38:245–258
Маркли, Флорида, и Мортари, Д. Оценка отношения кватернионов с использованием векторных наблюдений , Журнал астронавтических наук, 2000, 48(2):359–380
Маркли, Флорида и Крассидис, Дж.Л. Основы определения и управления ориентацией космического корабля , Springer, 2014 г.
Либбус Б., Саймонс Г. и Яо Ю. Вращение нескольких наборов помеченных точек для их близкого совпадения: обобщенная задача Вахбы , The American Mathematical Monthly, 2017, 124(2):149–160
Луракис М. и Терзакис Г. Возвращение к эффективной абсолютной ориентации , Международная конференция IEEE/RSJ по интеллектуальным роботам и системам (IROS), 2018, стр. 5813-5818.

См. также

[1] Вращение $\mathbf {R}$ в определении задачи преобразует кадр тела в опорный кадр. В большинстве публикаций вращение определяется в обратном направлении, т.е. от привязки к корпусу тела, что составляет $\mathbf {R} ^{T}$ .

[2] «Q-метод Давенпорта (нахождение ориентации, соответствующей набору точечных выборок)» . Математический обмен стеками . Проверено 23 июля 2020 г.

[3] Аппель, М. «Надежное обнаружение и устранение спуфинга на основе оценки направления прибытия» (PDF) . Ион ГНСС+ 2015 . 28 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]