Динамика полета самолета

Эта статья о динамике полета самолетов. Об общей динамике полета см. Динамика полета .

Динамика полета — это наука об летательным ориентации и управлении аппаратом в трех измерениях. Три критических параметра динамики полета — это углы поворота в трех измерениях транспортного средства вокруг центра тяжести (cg), известные как тангаж , крен и рыскание . В совокупности они известны как положение самолета , часто в основном относительно атмосферной среды при нормальном полете, но также и относительно местности во время взлета или посадки или при работе на малой высоте. Концепция положения не является специфичной для самолетов, но также распространяется на винтокрылые самолеты, такие как вертолеты и дирижабли , где динамика полета, участвующая в установлении и контроле положения, совершенно различна.

Системы управления регулируют ориентацию автомобиля относительно центра тяжести. Система управления включает в себя поверхности управления, которые при отклонении создают момент (или пару от элеронов) вокруг центра тяжести, который вращает самолет по тангажу, крену и рысканию. Например, момент тангажа возникает под действием силы, приложенной на расстоянии вперед или назад от центра тяжести, заставляющей самолет крениться вверх или вниз.

Самолет увеличивает или уменьшает подъемную силу, создаваемую крыльями, когда он поднимает или опускает нос, увеличивая или уменьшая угол атаки (АОА). Угол крена также известен как угол крена на самолете с неподвижным крылом, который обычно «кренится», чтобы изменить горизонтальное направление полета. Самолет имеет обтекаемую форму от носа до хвоста, чтобы уменьшить сопротивление , что делает выгодным поддерживать угол бокового скольжения близким к нулю, хотя самолет можно намеренно «смещать в сторону», чтобы увеличить сопротивление и скорость снижения во время приземления, чтобы самолет оставался в том же направлении, что и взлетно-посадочная полоса во время пересечения. -ветрозащитные посадки и при полете с несимметричной мощностью.

Фон

Основная статья: Главные оси самолета

Крен, тангаж и рыскание относятся к вращениям вокруг соответствующих осей, начиная с определенного состояния равновесия устойчивого полета . Угол равновесного крена известен как уровень крыльев или угол нулевого крена.

Наиболее распространенное авиационное соглашение определяет крен как положительный, действующий вокруг продольной оси при опущенном правом (правом) крыле. Отклонение от курса относительно вертикальной оси корпуса, положительное, нос направлен вправо. Шаг вокруг оси, перпендикулярной продольной плоскости симметрии, положительным носом вверх.

отклонение от курса

подача

рулон

рыскания или курса определение угла

тангажа определение угла

определение угла крена

Системы отсчета

Дополнительная информация: соглашения об осях.

Три правосторонние декартовы системы координат часто используются в динамике полета. Первая система координат имеет начало координат, зафиксированное в системе отсчета Земли:

• Земляная рамка
  • Начало координат – произвольное, фиксированное относительно поверхности Земли.
  • Ось x _E – положительная в направлении на север
  • Ось y _E – положительная в направлении востока
  • Ось z _E - положительная к центру Земли

Во многих приложениях по динамике полета предполагается, что система координат Земли является инерциальной с плоской плоскостью x _E , y _E , хотя систему координат Земли также можно рассматривать как сферическую систему координат с началом в центре Земли.

Две другие системы отсчета привязаны к телу, а начала координат движутся вместе с самолетом, обычно в центре тяжести. Для самолета, симметричного справа налево, кадры можно определить как:

• Каркас кузова
  • Начало координат - центр тяжести самолета.
  • Ось x _b - положительный выход носа самолета в плоскости симметрии самолета
  • Ось z _b - перпендикулярно оси x _b , в плоскости симметрии самолета, положительная ниже самолета
  • y _b Ось - перпендикуляр к плоскости x _b , z _b , положительная, определяется по правилу правой руки (обычно положительная за правым крылом)
• Ветровая рама
  • Начало координат - центр тяжести самолета.
  • xw _Ось - положительная в направлении вектора скорости самолета относительно воздуха
  • Ось z _w - перпендикулярно оси x _w , в плоскости симметрии самолета, положительная ниже самолета
  • Ось y _w - перпендикуляр к плоскости x _w , z _w , положительная, определяется правилом правой руки (обычно положительная вправо)

необходимо использовать другие соглашения Асимметричные самолеты имеют аналогичные рамы с фиксированным корпусом, но для выбора точных направлений осей x и z .

Земная система координат — это удобная система координат для выражения поступательной и вращательной кинематики самолета. Система отсчета Земли полезна еще и тем, что при определенных допущениях ее можно аппроксимировать как инерциальную. Кроме того, одна сила, действующая на самолет, — вес, фиксирована в + z _E. направлении

Каркас кузова часто представляет интерес, поскольку начало координат и оси остаются фиксированными относительно самолета. Это означает, что относительная ориентация Земли и корпусов описывает положение самолета. Кроме того, направление силы тяги обычно фиксировано в корпусе корпуса, хотя некоторые самолеты могут изменять это направление, например, путем изменения вектора тяги .

Ветровая система представляет собой удобную систему для выражения аэродинамических сил и моментов, действующих на самолет. В частности, результирующую аэродинамическую силу можно разделить на компоненты вдоль осей ветровой рамы: сила сопротивления в направлении - x _w и подъемная сила в направлении - z _w .

Мнемотехника для запоминания названий углов

Помимо определения систем отсчета, можно определить относительную ориентацию систем отсчета. Относительная ориентация может выражаться в различных формах, в том числе:

• Матрицы вращения
• Направляющие косинусы
• углы Эйлера
• Кватернионы

Различные углы Эйлера, относящиеся к трем системам отсчета, важны для динамики полета. Существует множество соглашений об углах Эйлера, но все последовательности вращения, представленные ниже, используют соглашение zy'-x" . Это соглашение соответствует типу углов Тейта-Брайана , которые обычно называют углами Эйлера. Это соглашение описано подробно. ниже для углов Эйлера крена, тангажа и рыскания, которые описывают ориентацию корпуса тела относительно земной системы координат. Остальные наборы углов Эйлера описаны ниже по аналогии.

Преобразования ( углы Эйлера )

От земного каркаса к телесному каркасу

• Сначала поверните оси x _E и y _E земной системы вокруг z _E оси на отклонения от курса угол ψ . В результате получается промежуточная система отсчета с осями, обозначенными x ' ,y ' ,z ' , где z'= _zE .
• Во-вторых, поверните оси x ' и z ' вокруг y ' оси на наклона угол θ . В результате получается еще одна промежуточная система отсчета с осями, обозначенными x",y",z" , где y"=y ' .
• Наконец, поверните оси y" и z" вокруг x оси на поворота угол φ . Система отсчета, полученная после трех поворотов, является рамой тела.

На основе приведенных выше соглашений о вращении и осях:

• рыскания Угол ψ: угол между севером и проекцией продольной оси самолета на горизонтальную плоскость;
• тангажа Угол θ: угол между продольной осью самолета и горизонтом;
• крена Угол φ: вращение вокруг продольной оси самолета после поворота по рысканию и тангажу.

От земной рамки к ветровой рамке

• курса Угол σ: угол между севером и горизонтальной составляющей вектора скорости, который описывает, в каком направлении движется самолет относительно основных направлений.
• траектории полета Угол γ: угол между горизонтом и вектором скорости, который определяет, набирает ли самолет высоту или снижается.
• крена Угол μ: представляет собой вращение подъемной силы вокруг вектора скорости, что может указывать на то, поворачивает ли самолет .

При выполнении описанных выше вращений для получения каркаса тела из каркаса Земли наблюдается такая аналогия между углами:

• σ, ψ (курс против рыскания)
• γ, θ (траектория полета в зависимости от тангажа)
• μ, φ (крен против крена)

От ветровой рамы к раме кузова

• бокового скольжения угол β: угол между вектором скорости и проекцией продольной оси самолета на плоскость x _w , y _w , который описывает, существует ли боковая составляющая скорости самолета.

• Угол атаки α : угол между плоскостью x _w , y _w и продольной осью самолета и, помимо прочего, является важной переменной при определении величины подъемной силы.

При выполнении описанных ранее вращений для получения каркаса тела из каркаса Земли существует такая аналогия между углами:

• β, ψ (скольжение против рыскания)
• α , θ (атака против высоты тона)
• (φ = 0) (ничего против крена)

Аналогии

Таким образом, между тремя системами отсчета существуют следующие аналогии:

• Рыскание / курс / боковое скольжение (ось Z, вертикальная)
• Тангаж/траектория полета/угол атаки (ось Y, крыло)
• Крен/Крен/ничего (ось X, нос)

Дизайнерские кейсы

При анализе устойчивости самолета обычно рассматривают возмущения относительно номинального устойчивого состояния полета . Таким образом, анализ будет применяться, например, при условии:

Прямой и горизонтальный полет

Поворот с постоянной скоростью

Подход и посадка

Снимать

Скорость, высота и дифферентный угол атаки различны для каждого режима полета, кроме того, самолет будет настроен по-разному, например, на малой скорости закрылки могут быть выпущены, а шасси опущено.

За исключением асимметричных конструкций (или симметричных конструкций со значительным боковым скольжением), продольные уравнения движения (с учетом тангажа и подъемной силы) можно рассматривать независимо от бокового движения (с учетом крена и рыскания).

Ниже рассматриваются отклонения от номинальной прямой и горизонтальной траектории полета.

Чтобы сделать анализ (относительно) простым, предполагается, что поверхности управления неподвижны на протяжении всего движения, это устойчивость с фиксированной ручкой. Анализ без прилипания требует дальнейшего усложнения учета движения рулей.

Кроме того, предполагается, что полет происходит в неподвижном воздухе, а летательный аппарат рассматривается как твердое тело .

Силы полета

На самолет в полете действуют три силы: вес , тяга и аэродинамическая сила .

Аэродинамическая сила

Основная статья: Аэродинамическая сила

Компоненты аэродинамической силы

Выражение для расчета аэродинамической силы:

$\mathbf {F} _{A}=\int _{\Sigma }(-\Delta p\mathbf {n} +\mathbf {f} )\,d\sigma$

где:

$\Delta p\equiv$ Разница между статическим давлением и свободным текущим давлением

$\mathbf {n} \equiv$ вектор внешней нормали элемента площади

$\mathbf {f} \equiv$ вектор касательного напряжения, создаваемый воздухом на теле

$\Sigma \equiv$ адекватная опорная поверхность

в проекциях на оси ветра получим:

$\mathbf {F} _{A}=-(\mathbf {i} _{w}D+\mathbf {j} _{w}Q+\mathbf {k} _{w}L)$

где:

$D\equiv$ Тащить

$Q\equiv$ Боковая сила

$L\equiv$ Поднимать

Аэродинамические коэффициенты

Динамическое давление свободного тока $\equiv q={\tfrac {1}{2}}\,\rho \,V^{2}$

Правильная опорная поверхность ( поверхность крыла в случае самолетов ) $\equiv S$

Коэффициент давления $\equiv C_{p}={\dfrac {p-p_{\infty }}{q}}$

Коэффициент трения $\equiv C_{f}={\dfrac {f}{q}}$

Коэффициент сопротивления $\equiv C_{d}={\dfrac {D}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }[(-C_{p})\mathbf {n} \bullet \mathbf {i_{w}} +C_{f}\mathbf {t} \bullet \mathbf {i_{w}} ]\,d\sigma$

Коэффициент поперечной силы $\equiv C_{Q}={\dfrac {Q}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }[(-C_{p})\mathbf {n} \bullet \mathbf {j_{w}} +C_{f}\mathbf {t} \bullet \mathbf {j_{w}} ]\,d\sigma$

Коэффициент подъемной силы $\equiv C_{L}={\dfrac {L}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }[(-C_{p})\mathbf {n} \bullet \mathbf {k_{w}} +C_{f}\mathbf {t} \bullet \mathbf {k_{w}} ]\,d\sigma$

Необходимо знать C _p и C _f в каждой точке рассматриваемой поверхности.

Безразмерные параметры и аэродинамические режимы

В отсутствие тепловых эффектов есть три замечательных безразмерных числа:

• Сжимаемость потока:

число Маха $\equiv M={\dfrac {V}{a}}$

• Вязкость потока:

Число Рейнольдса $\equiv Re={\dfrac {\rho Vl}{\mu }}$

• Разрежение потока:

число Кнудсена $\equiv Kn={\dfrac {\lambda }{l}}$

где:

$a={\sqrt {kR\theta }}\equiv$ скорость звука

$k\equiv$ удельная теплоемкость

$R\equiv$ газовая постоянная, равная единице массы

$\theta \equiv$ абсолютная температура

$\lambda ={\dfrac {\mu }{\rho }}{\sqrt {\dfrac {\pi }{2R\theta }}}={\dfrac {M}{Re}}{\sqrt {\dfrac {k\pi }{2}}}\equiv$ средний свободный путь

В соответствии с λ существует три возможных степени разрежения, и соответствующие им движения называются:

• Непрерывный ток (незначительное разрежение): ${\dfrac {M}{Re}}\ll 1$
• Переходный ток (умеренное разрежение): ${\dfrac {M}{Re}}\approx 1$
• Свободный молекулярный ток (высокое разрежение): ${\dfrac {M}{Re}}\gg 1$

Движение тела в потоке рассматривается в динамике полета как сплошной поток. Во внешнем слое пространства, окружающего тело, вязкость будет незначительной. Однако эффекты вязкости необходимо учитывать при анализе течения вблизи пограничного слоя .

В зависимости от сжимаемости потока можно рассматривать различные виды течений:

• Несжимаемый дозвуковой ток : $0<M<0.3$
• Сжимаемый дозвуковой ток : $0.3<M<0.8$
• Трансзвуковой ток : $0.8<M<1.2$
• Сверхзвуковой ток : $1.2<M<5$
• Гиперзвуковой ток : $5<M$

Уравнение коэффициента лобового сопротивления и аэродинамическая эффективность

При фиксированной геометрии тела и при симметричном полете (β=0 и Q=0) коэффициенты давления и трения являются функциями, зависящими от:

$C_{p}=C_{p}(\alpha ,M,Re,P)$

$C_{f}=C_{f}(\alpha ,M,Re,P)$

где:

$\alpha \equiv$ угол атаки

$P\equiv$ рассматриваемая точка поверхности

В этих условиях сопротивления и коэффициент подъемной силы являются функциями, зависящими исключительно от угла атаки корпуса и чисел Маха и Рейнольдса . Аэродинамическая эффективность, определяемая как соотношение между коэффициентами подъемной силы и сопротивления, также будет зависеть от этих параметров.

${\begin{cases}C_{D}=C_{D}(\alpha ,M,Re)\\C_{L}=C_{L}(\alpha ,M,Re)\\E=E(\alpha ,M,Re)={\dfrac {C_{L}}{C_{D}}}\\\end{cases}}$

Также можно получить зависимость коэффициента сопротивления от коэффициента подъемной силы . Это соотношение известно как уравнение коэффициента лобового сопротивления:

$C_{D}=C_{D}(C_{L},M,Re)\equiv$ уравнение коэффициента лобового сопротивления

Аэродинамическая эффективность имеет максимальное значение E _max по отношению к C _L , где касательная линия, идущая от начала координат, касается графика уравнения коэффициента лобового сопротивления.

Коэффициент сопротивления C _D можно разложить двумя способами. Первое типичное разложение разделяет эффекты давления и трения:

$C_{D}=C_{Df}+C_{Dp}{\begin{cases}C_{Df}={\dfrac {D}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }C_{f}\mathbf {t} \bullet \mathbf {i_{w}} \,d\sigma \\C_{Dp}={\dfrac {D}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }(-C_{p})\mathbf {n} \bullet \mathbf {i_{w}} \,d\sigma \end{cases}}$

Существует второе типичное разложение, учитывающее определение уравнения коэффициента лобового сопротивления. Это разложение отделяет влияние коэффициента подъемной силы в уравнении, получая два члена C _D0 и C _Di . C _D0 известен как коэффициент паразитного сопротивления и является базовым коэффициентом сопротивления при нулевой подъемной силе. C _Di известен как коэффициент индуцированного сопротивления и создается за счет подъема кузова.

$C_{D}=C_{D0}+C_{Di}{\begin{cases}C_{D0}=(C_{D})_{C_{L}=0}\\C_{Di}\end{cases}}$

Параболический и общий коэффициент сопротивления

Хорошей попыткой расчета коэффициента вынужденного сопротивления является предположение о параболической зависимости подъемной силы.

$C_{Di}=kC_{L}^{2}\Rightarrow C_{D}=C_{D0}+kC_{L}^{2}$

Аэродинамическая эффективность теперь рассчитывается как:

$E={\dfrac {C_{L}}{C_{D0}+kC_{L}^{2}}}\Rightarrow {\begin{cases}E_{max}={\dfrac {1}{2{\sqrt {kC_{D0}}}}}\\(C_{L})_{Emax}={\sqrt {\dfrac {C_{D0}}{k}}}\\(C_{Di})_{Emax}=C_{D0}\end{cases}}$

Если конфигурация самолета симметрична относительно плоскости XY, минимальный коэффициент сопротивления равен паразитному сопротивлению самолета.

$C_{Dmin}=(C_{D})_{CL=0}=C_{D0}$

Однако в случае, если конфигурация асимметрична относительно плоскости XY, минимальное сопротивление отличается от паразитного сопротивления. В этих случаях можно построить новое приблизительное уравнение параболического сопротивления, оставив минимальное значение сопротивления равным нулю.

$C_{Dmin}=C_{DM}\neq (C_{D})_{CL=0}$

$C_{D}=C_{DM}+k(C_{L}-C_{LM})^{2}$

Изменение параметров в зависимости от числа Маха

Коэффициент давления зависит от числа Маха по соотношению, приведенному ниже:

$C_{p}={\frac {C_{p0}}{\sqrt {|1-{M_{\infty }}^{2}|}}}$

где

• C _p - коэффициент сжимаемого давления
• C _p0 – коэффициент несжимаемого давления
• M _∞ — число Маха набегающего потока.

Это соотношение достаточно точно для 0,3 < M < 0,7, а когда M = 1 оно становится ∞, что является невозможной физической ситуацией и называется сингулярностью Прандтля – Глауэрта .

Аэродинамическая сила в определенной атмосфере

см. Аэродинамическая сила

Стабильность

Стабильность – это способность самолета противодействовать нарушениям траектории его полета.

По словам Дэвида П. Дэвиса , существует шесть типов устойчивости самолета: скоростная устойчивость, статическая продольная устойчивость без скольжения, статическая поперечная устойчивость, курсовая устойчивость, колебательная устойчивость и спиральная устойчивость.

Стабильность скорости

Самолет в крейсерском полете обычно имеет стабильную скорость. Если скорость увеличивается, сопротивление увеличивается, что приведет к снижению скорости до состояния равновесия для ее конфигурации и настроек тяги. Если скорость уменьшится, сопротивление уменьшится, и самолет вернется к равновесной скорости, при которой тяга равна сопротивлению.

Однако при медленном полете из- за сопротивления, вызванного подъемной силой , при уменьшении скорости сопротивление увеличивается (и наоборот). Это известно как «задняя часть кривой сопротивления ». Самолет будет нестабильным по скорости, поскольку уменьшение скорости вызовет дальнейшее снижение скорости.

Статическая устойчивость и контроль

Продольная статическая устойчивость

Основная статья: Продольная устойчивость

Продольная устойчивость относится к устойчивости самолета по тангажу. В случае стабильного самолета, если самолет поднимается вверх, крылья и хвост создают момент тангажа, который стремится вернуть самолет в исходное положение. Для неустойчивого самолета нарушение тангажа приведет к увеличению момента тангажа. Продольная статическая устойчивость — это способность самолета восстанавливаться после первоначального возмущения. Продольная динамическая устойчивость означает демпфирование этих стабилизирующих моментов, что предотвращает постоянные или увеличивающиеся колебания тангажа.

Путевая устойчивость

Основная статья: Путевая устойчивость

Направленная или флюгерная устойчивость связана со статической устойчивостью самолета вокруг оси z. Так же, как и в случае с продольной устойчивостью, желательно, чтобы самолет имел тенденцию возвращаться в состояние равновесия при воздействии некоторой формы возмущения от курса. Для этого наклон кривой момента поворота должен быть положительным.Самолет, обладающий этим режимом устойчивости, всегда будет направлен в сторону относительного ветра, отсюда и название «устойчивость флюгера».

Динамическая устойчивость и контроль

Основная статья: Динамические режимы самолета

Продольные режимы

Обычной практикой является вывод характеристического уравнения четвертого порядка для описания продольного движения, а затем его приблизительное разложение на высокочастотный режим и низкочастотный режим. Принятый здесь подход заключается в использовании качественных знаний о поведении самолета для упрощения уравнений с самого начала и достижения результата более доступным путем.

Два продольных движения (моды) называются короткопериодными шаговыми колебаниями (SPPO) и фугоидными .

Короткопериодические колебания высоты тона

Короткий ввод (в систем управления терминологии импульс ) по тангажу (обычно через руль высоты в самолетах стандартной конфигурации) обычно приводит к отклонениям от триммированного состояния. Переход характеризуется затухающим простым гармоническим движением вокруг нового трима. За время, необходимое для затухания колебаний, траектория меняется очень незначительно.

Обычно это колебание имеет высокую частоту (следовательно, короткий период) и затухает в течение нескольких секунд. Реальный пример: пилот выбирает новое положение набора высоты, например, нос на 5° выше исходного положения. Можно использовать короткое и резкое отведение рулевой колонки назад, что обычно приводит к колебаниям относительно нового состояния дифферента. Если колебания плохо демпфируются, самолету потребуется длительный период времени, чтобы прийти в новое состояние, что потенциально может привести к колебаниям, вызванным пилотом . Если кратковременный режим нестабилен, пилот, как правило, не сможет безопасно управлять самолетом в течение какого-либо периода времени.

Это затухающее гармоническое движение называется короткопериодным колебанием основного тона; это возникает из-за тенденции стабильного самолета указывать в общем направлении полета. По своей природе он очень похож на режим флюгера ракетных или ракетных конфигураций. Движение включает в себя главным образом положение тангажа. $\theta$ (тета) и заболеваемость $\alpha$ (альфа). Направление вектора скорости относительно осей инерции равно $\theta -\alpha$. Вектор скорости:

$u_{f}=U\cos(\theta -\alpha )$

$w_{f}=U\sin(\theta -\alpha )$

где $u_{f}$, $w_{f}$ – компоненты скорости по инерционным осям. Согласно Второму закону Ньютона , ускорения пропорциональны силам , поэтому силы в инерционных осях равны:

$X_{f}=m{\frac {du_{f}}{dt}}=m{\frac {dU}{dt}}\cos(\theta -\alpha )-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\sin(\theta -\alpha )$

$Z_{f}=m{\frac {dw_{f}}{dt}}=m{\frac {dU}{dt}}\sin(\theta -\alpha )+mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\cos(\theta -\alpha )$

где m — масса .По характеру движения изменение скорости $m{\frac {dU}{dt}}$ пренебрежимо мала за период колебания, поэтому:

$X_{f}=-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\sin(\theta -\alpha )$

$Z_{f}=mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\cos(\theta -\alpha )$

Но силы порождаются распределением давления на тело и отнесены к вектору скорости. Но набор осей скорости (ветра) не является инерциальной системой отсчета, поэтому мы должны преобразовать силы фиксированных осей в оси ветра. Кроме того, нас интересует только сила вдоль оси z:

$Z=-Z_{f}\cos(\theta -\alpha )+X_{f}\sin(\theta -\alpha )$

Или:

$Z=-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}$

Другими словами, сила ветра по осям равна центростремительному ускорению.

Уравнение момента представляет собой производную по времени углового момента :

$M=B{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}$

где М — момент тангажа, а В — момент инерции относительно оси тангажа.Позволять: ${\frac {d\theta }{dt}}=q$, скорость шага.Таким образом, уравнения движения со всеми силами и моментами, отнесенными к осям ветра, имеют вид:

${\frac {d\alpha }{dt}}=q+{\frac {Z}{mU}}$

${\frac {dq}{dt}}={\frac {M}{B}}$

Нас интересуют только возмущения сил и моментов, вызванные возмущениями состояний $\alpha$ и q и их производные по времени. Они характеризуются производными устойчивости, определяемыми условиями полета. Возможные производные устойчивости:

$Z_{\alpha }$ Подъемная сила из-за падения, она отрицательна, потому что ось Z направлена ​​вниз, в то время как положительное падение вызывает направленную вверх силу.

$Z_{q}$ Подъемная сила за счет скорости тангажа возникает за счет увеличения угла наклона хвостового оперения, поэтому также является отрицательной, но небольшой по сравнению с $Z_{\alpha }$.

$M_{\alpha }$ Момент качки от падения - термин статической устойчивости. Статическая стабильность требует, чтобы это значение было отрицательным.

$M_{q}$ Момент тангажа, обусловленный скоростью тангажа - коэффициент демпфирования тангажа, он всегда отрицательный.

Поскольку хвостовое оперение работает в поле обтекания крыла, изменения угла наклона крыла вызывают изменения в потоке воздуха вниз, но существует задержка для того, чтобы изменение поля обтекания крыла повлияло на подъемную силу хвоста, это представляется как момент, пропорциональный скорости изменения заболеваемости:

$M_{\dot {\alpha }}$

Эффект замедленного потока вниз придает хвосту большую подъемную силу и создает момент опускания носа, поэтому $M_{\dot {\alpha }}$ ожидается отрицательным.

Уравнения движения с малыми возмущающими силами и моментами принимают вид:

${\frac {d\alpha }{dt}}=\left(1+{\frac {Z_{q}}{mU}}\right)q+{\frac {Z_{\alpha }}{mU}}\alpha$

${\frac {dq}{dt}}={\frac {M_{q}}{B}}q+{\frac {M_{\alpha }}{B}}\alpha +{\frac {M_{\dot {\alpha }}}{B}}{\dot {\alpha }}$

Их можно манипулировать, чтобы получить линейное дифференциальное уравнение второго порядка в $\alpha$:

${\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}-\left({\frac {Z_{\alpha }}{mU}}+{\frac {M_{q}}{B}}+(1+{\frac {Z_{q}}{mU}}){\frac {M_{\dot {\alpha }}}{B}}\right){\frac {d\alpha }{dt}}+\left({\frac {Z_{\alpha }}{mU}}{\frac {M_{q}}{B}}-{\frac {M_{\alpha }}{B}}(1+{\frac {Z_{q}}{mU}})\right)\alpha =0$

Это представляет собой затухающее простое гармоническое движение.

Мы должны ожидать ${\frac {Z_{q}}{mU}}$ мал по сравнению с единицей, поэтому коэффициент $\alpha$ (член «жесткости») будет положительным, если $M_{\alpha }<{\frac {Z_{\alpha }}{mU}}M_{q}$. В этом выражении преобладает $M_{\alpha }$, определяющий продольную статическую устойчивость самолета, для устойчивости она должна быть отрицательной. Срок демпфирования уменьшается из-за эффекта нисходящей волны, и трудно спроектировать самолет с быстрым естественным откликом и сильным демпфированием. Обычно реакция недостаточно затухающая, но стабильная.

Фугоид

Основная статья: Фугоид

Если ручка удерживается неподвижно, самолет не будет поддерживать прямой и горизонтальный полет (за исключением того маловероятного случая, когда он будет идеально сбалансирован для горизонтального полета на текущей высоте и настройках тяги), а начнет пикировать, выравниваться и снова подняться. Он будет повторять этот цикл до тех пор, пока не вмешается пилот. Это длительное колебание скорости и высоты называется фугоидным режимом. Это анализируется в предположении, что SSPO выполняет свою функцию и поддерживает угол атаки вблизи номинального значения. Два состояния, которые в основном затрагиваются, - это угол траектории полета. $\gamma$ (гамма) и скорость. Уравнения движения малых возмущений:

$mU{\frac {d\gamma }{dt}}=-Z$

что означает, что центростремительная сила равна возмущению подъемной силы.

Для скорости, разрешающейся по траектории:

$m{\frac {du}{dt}}=X-mg\gamma$

где g — ускорение силы тяжести на поверхности Земли . Ускорение по траектории равно результирующей силе по оси x минус компонент веса. Не следует ожидать, что существенные аэродинамические производные будут зависеть от угла траектории полета, поэтому только $X_{u}$ и $Z_{u}$ необходимо учитывать. $X_{u}$ - приращение сопротивления с увеличением скорости, оно отрицательное, аналогично $Z_{u}$ — приращение подъемной силы за счет приращения скорости; оно также отрицательно, поскольку подъемная сила действует в направлении, противоположном оси z.

Уравнения движения принимают вид:

$mU{\frac {d\gamma }{dt}}=-Z_{u}u$

$m{\frac {du}{dt}}=X_{u}u-mg\gamma$

Их можно выразить как уравнение второго порядка по углу траектории полета или возмущению скорости:

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-{\frac {X_{u}}{m}}{\frac {du}{dt}}-{\frac {Z_{u}g}{mU}}u=0$

Теперь подъемная сила почти равна весу:

$Z={\frac {1}{2}}\rho U^{2}c_{L}S_{w}=W$

где $\rho$ плотность воздуха, $S_{w}$ - площадь крыла, W - вес и $c_{L}$ — коэффициент подъемной силы (предполагается постоянным, поскольку угол падения постоянный), мы приблизительно имеем:

$Z_{u}={\frac {2W}{U}}={\frac {2mg}{U}}$

Период фугоида T получается из коэффициента u:

${\frac {2\pi }{T}}={\sqrt {\frac {2g^{2}}{U^{2}}}}$

Или:

$T={\frac {2\pi U}{{\sqrt {2}}g}}$

Поскольку подъемная сила намного превышает сопротивление, фугоид в лучшем случае слегка демпфируется. Пропеллер . с фиксированной скоростью помог бы Сильное демпфирование вращения тангажа или большая инерция вращения увеличивают связь между короткопериодными и фугоидными модами, так что они изменяют фугоид.

Боковые режимы

Антонов Ан-225 имел двугранное крыло, что делало его менее устойчивым, но более маневренным.

У симметричной ракеты или ракеты курсовая устойчивость по рысканью такая же, как и устойчивость по тангажу; оно напоминает короткопериодные колебания тангажа, при этом плоскость отклонения от курса эквивалентна производным устойчивости плоскости тангажа. По этой причине курсовая устойчивость ракеты по тангажу и рысканью под общим названием известна как «флюгер».

Самолету не хватает симметрии между тангажем и рысканием, поэтому курсовая устойчивость при рыскании определяется другим набором производных устойчивости. Плоскость рыскания, эквивалентная короткопериодным колебаниям тангажа, которые описывают курсовую устойчивость плоскости рыскания, называется голландским креном. В отличие от движений в плоскости тангажа, боковые режимы включают движение как крена, так и рыскания.

Голландский ролл

Основная статья: голландский ролл

Уравнения движения обычно выводятся путем формальных манипуляций, что для инженера равнозначно математической ловкости рук. Текущий подход следует анализу наклонной плоскости при формулировании уравнений с использованием понятий, которые достаточно знакомы.

Подача импульса через педали руля направления должна вызвать голландский крен , который представляет собой колебание крена и рыскания, при этом крен отстает от рыскания на четверть цикла, так что законцовки крыла следуют по эллиптическим траекториям относительно самолета.

Уравнение поступательного движения в плоскости рыскания, как и в плоскости тангажа, приравнивает центростремительное ускорение к боковой силе.

${\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y}{mU}}-r$

где $\beta$ (бета) — угол бокового скольжения , Y — боковая сила, а r — скорость рыскания.

Уравнения моментов немного сложнее. Состояние дифферента — самолет находится под углом атаки относительно воздушного потока. Ось X тела не совпадает с вектором скорости, который является опорным направлением для осей ветра. Другими словами, оси ветра не являются главными осями (масса не распределяется симметрично относительно осей рыскания и крена). Рассмотрим движение элемента массы в положении -z, x в направлении оси y, т.е. в плоскость бумаги.

Если скорость вращения равна p, скорость частицы равна:

$v=-pz+xr$

Состоящая из двух слагаемых, сила, действующая на эту частицу, первая пропорциональна скорости изменения v, вторая обусловлена ​​изменением направления этой составляющей скорости при движении тела. Последние члены приводят к перекрестным произведениям небольших величин (pq, pr, qr), которые позже отбрасываются. В данном анализе они с самого начала отброшены для ясности. Фактически мы предполагаем, что направление скорости частицы из-за одновременной скорости крена и рыскания существенно не меняется на протяжении всего движения. При таком упрощающем предположении ускорение частицы становится:

${\frac {dv}{dt}}=-{\frac {dp}{dt}}z+{\frac {dr}{dt}}x$

Рыскающий момент определяется:

$\delta mx{\frac {dv}{dt}}=-{\frac {dp}{dt}}xz\delta m+{\frac {dr}{dt}}x^{2}\delta m$

Существует дополнительный момент отклонения от курса из-за смещения частицы в направлении y: ${\frac {dr}{dt}}y^{2}\delta m$

Рыскающий момент находится суммированием по всем частицам тела:

$N=-{\frac {dp}{dt}}\int xzdm+{\frac {dr}{dt}}\int x^{2}+y^{2}dm=-E{\frac {dp}{dt}}+C{\frac {dr}{dt}}$

где N — момент рыскания, E — произведение инерции, а C — момент инерции относительно оси рыскания .Аналогичные рассуждения приводят к уравнению крена:

$L=A{\frac {dp}{dt}}-E{\frac {dr}{dt}}$

где L — момент качения, а A — момент инерции качения.

Производные поперечной и продольной устойчивости

Штаты $\beta$ (боковое скольжение), r (скорость рыскания) и p (скорость крена) с моментами N (рыскание) и L (крен) и силой Y (вбок). Существует девять производных устойчивости, имеющих отношение к этому движению; ниже объясняется, как они возникают. Однако лучшее интуитивное понимание можно получить, просто поиграв с моделью самолета и рассмотрев, как на силы, действующие на каждый компонент, влияют изменения бокового скольжения и угловой скорости:

$Y_{\beta }$ Боковая сила из-за бокового скольжения (при отсутствии рыскания).

Боковое скольжение создает боковую силу от киля и фюзеляжа. Кроме того, если крыло имеет двугранную форму, боковое скольжение при положительном угле крена увеличивает угол падения на правое крыло и уменьшает его на левом борту, что приводит к образованию суммарной составляющей силы, прямо противоположной направлению бокового скольжения. Стреловидность крыльев назад оказывает такое же влияние на падение, но поскольку крылья не наклонены в вертикальной плоскости, сама по себе обратная стреловидность не влияет $Y_{\beta }$. Тем не менее, угловая форма может использоваться с большими углами обратной стреловидности в высокопроизводительных самолетах, чтобы компенсировать влияние бокового скольжения на наклон крыла. Как ни странно, это не меняет знак вклада конфигурации крыла в $Y_{\beta }$ (по сравнению с двугранным случаем).

$Y_{p}$ Боковая сила, обусловленная скоростью крена.

Скорость крена вызывает падение на плавник, что создает соответствующую боковую силу. Кроме того, положительный крен (правое крыло вниз) увеличивает подъемную силу на правом крыле и уменьшает ее на левом. Если крыло имеет двугранную форму, это приведет к тому, что боковая сила на мгновение будет противодействовать возникающей тенденции к боковому скольжению. Конфигурации углового крыла и/или стабилизатора могут привести к инвертированию знака боковой силы, если эффект плавника подавляется.

$Y_{r}$ Боковая сила из-за скорости рыскания.

Рыскание создает боковые силы из-за воздействия на руль направления, киль и фюзеляж.

$N_{\beta }$ Отклоняющий момент из-за сил бокового скольжения.

Боковое скольжение при отсутствии управления рулем направления вызывает падение на фюзеляж и хвостовое оперение , создавая тем самым момент рыскания, которому противодействует только направленная жесткость, которая будет иметь тенденцию направлять нос самолета обратно против ветра в условиях горизонтального полета. В условиях бокового скольжения при заданном угле крена $N_{\beta }$ будет иметь тенденцию направлять нос в сторону бокового скольжения даже без воздействия на руль направления, вызывая полет по спирали вниз.

$N_{p}$ Рыскающий момент из-за скорости крена.

Скорость крена создает подъемную силу киля, вызывая момент рыскания, а также дифференциально изменяет подъемную силу крыльев, тем самым влияя на индуцированное сопротивление каждого крыла, вызывая (небольшой) вклад момента рыскания. Положительный бросок обычно вызывает положительный результат. $N_{p}$ значения, если только оперение не является угловым или киль не находится ниже оси крена. Компоненты поперечной силы, возникающие из-за разницы в двугранной или угловой подъемной силе крыла, мало влияют на $N_{p}$ потому что ось крыла обычно точно совпадает с центром тяжести.

$N_{r}$ Рыскающий момент из-за скорости рыскания.

Ввод скорости рыскания при любом угле крена создает векторы сил на руле направления, киле и фюзеляже, которые доминируют над результирующим моментом рыскания. Рыскание также увеличивает скорость внешнего крыла, одновременно замедляя внутреннее крыло, при этом соответствующие изменения сопротивления вызывают (небольшой) противодействующий момент рыскания. $N_{r}$ противодействует присущей ему направленной жесткости, которая имеет тенденцию направлять нос самолета назад против ветра и всегда соответствует знаку входной скорости рыскания.

$L_{\beta }$ Момент качения из-за бокового скольжения.

Положительный угол бокового скольжения создает наклон хвостового оперения, который может вызвать положительный или отрицательный момент крена в зависимости от его конфигурации. При любом ненулевом угле бокового скольжения двугранные крылья вызывают момент качения, который стремится вернуть самолет в горизонтальное положение, как и крылья стреловидности назад. При наличии крыльев с большой стреловидностью результирующий момент качения может быть чрезмерным для всех требований устойчивости, и угловой угол можно использовать для компенсации эффекта момента качения, вызванного стреловидностью крыла.

$L_{r}$ Кренящий момент из-за скорости рыскания.

Отклонение от курса увеличивает скорость внешнего крыла, одновременно уменьшая скорость внутреннего, вызывая момент крена на внутреннюю сторону. Вклад плавника обычно поддерживает этот эффект крена внутрь, если только он не компенсируется угловым стабилизатором над осью крена (или двугранным стабилизатором под осью крена).

$L_{p}$ Момент качения, обусловленный скоростью крена.

Крен создает силы противовращения как на правом, так и на левом крыльях, а также создает такие силы на хвостовом оперении. Эти противоположные эффекты момента крена должны преодолеваться за счет воздействия элеронов, чтобы поддерживать скорость крена. Если крен остановлен под ненулевым углом крена, $L_{\beta }$ Восходящий момент крена, вызванный последующим боковым скольжением, должен вернуть самолет в горизонтальное положение, если только он, в свою очередь, не будет превышен нисходящим $L_{r}$ момент крена, возникающий в результате бокового скольжения, вызванного скоростью рыскания. Продольную устойчивость можно обеспечить или улучшить, минимизировав последний эффект.

Уравнения движения

Поскольку голландский крен представляет собой режим управления, аналогичный короткопериодному колебанию тангажа, любое влияние, которое он может оказать на траекторию, можно игнорировать. Скорость тела r складывается из скорости изменения угла скольжения и скорости поворота. Принимая последнее за ноль, предполагая отсутствие влияния на траекторию, с ограниченной целью изучения голландского крена:

${\frac {d\beta }{dt}}=-r$

Уравнения рыскания и крена с производными устойчивости принимают вид:

$C{\frac {dr}{dt}}-E{\frac {dp}{dt}}=N_{\beta }\beta -N_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+N_{p}p$ (рыскание)

$A{\frac {dp}{dt}}-E{\frac {dr}{dt}}=L_{\beta }\beta -L_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+L_{p}p$ (рулон)

Инерционный момент, возникающий из-за ускорения крена, считается небольшим по сравнению с аэродинамическими условиями, поэтому уравнения принимают вид:

$-C{\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}=N_{\beta }\beta -N_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+N_{p}p$

$E{\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}=L_{\beta }\beta -L_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+L_{p}p$

Это становится уравнением второго порядка, определяющим скорость крена или боковое скольжение:

$\left({\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}\right){\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}+\left({\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{r}}{C}}-{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {L_{r}}{A}}\right){\frac {d\beta }{dt}}-\left({\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{\beta }}{C}}-{\frac {L_{\beta }}{A}}{\frac {N_{p}}{C}}\right)\beta =0$

Уравнение для скорости вращения идентично. Но угол крена, $\phi$ (фи) определяется:

${\frac {d\phi }{dt}}=p$

Если p — затухающее простое гармоническое движение, то $\phi$, но крен должен находиться в квадратуре со скоростью крена, а значит, и с боковым скольжением. Движение состоит из колебаний при крене и рыскании, при этом крен отстает на 90 градусов от рыскания. Кончики крыльев очерчивают эллиптические траектории.

Стабильность требует, чтобы термины « жесткость » и «демпфирование» были положительными. Это:

${\frac {{\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{r}}{C}}-{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {L_{r}}{A}}}{{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}}}$ (демпфирование)

${\frac {{\frac {L_{\beta }}{A}}{\frac {N_{p}}{C}}-{\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{\beta }}{C}}}{{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}}}$ (жесткость)

В знаменателе преобладает $L_{p}$, производная демпфирования крена, которая всегда отрицательна, поэтому знаменатели этих двух выражений будут положительными.

Учитывая термин «жесткость»: $-L_{p}N_{\beta }$ будет положительным, потому что $L_{p}$ всегда отрицателен и $N_{\beta }$ является позитивным по замыслу. $L_{\beta }$ обычно отрицательный, тогда как $N_{p}$ является положительным. Чрезмерный двугранный угол может дестабилизировать крен голландца, поэтому для конфигураций с крыльями большой стреловидности требуется угловой угол, чтобы компенсировать вклад стреловидности крыла в $L_{\beta }$.

В составе демпфирования преобладает произведение демпфирования крена и производных демпфирования рыскания, оба они отрицательны, поэтому их произведение положительно. Поэтому голландский крен должен быть демпфирован.

Движение сопровождается небольшим боковым перемещением центра тяжести, и более «точный» анализ введет термины $Y_{\beta }$ и т. д. С учетом точности, с которой можно вычислить производные устойчивости, это излишняя педантичность, способствующая затемнению связи между геометрией самолета и управляемостью, что является основной целью данной статьи.

Проседание рулона

Рычаг джойстика в сторону и возврат его в центр приводит к резкому изменению ориентации крена.

Движение крена характеризуется отсутствием естественной устойчивости, отсутствуют производные устойчивости, создающие моменты в ответ на инерционный угол крена. Возмущение крена вызывает скорость крена, которая устраняется только вмешательством пилота или автопилота . Это происходит при незначительных изменениях скорости скольжения или рыскания, поэтому уравнение движения сводится к:

$A{\frac {dp}{dt}}=L_{p}p.$

$L_{p}$ отрицательно, поэтому скорость крена со временем будет уменьшаться. Скорость крена снижается до нуля, но прямого контроля угла крена нет.

Спиральный режим

Просто удерживая ручку управления неподвижно, при старте с почти ровными крыльями самолет обычно имеет тенденцию постепенно отклоняться в сторону от прямой траектории полета. Это (немного нестабильный) спиральный режим .

Траектория в спиральном режиме

При изучении траектории интерес представляет направление вектора скорости, а не тела. Направление вектора скорости, проецируемое на горизонт, будем называть траекторией, обозначая $\mu$ ( му ). Ориентация тела называется заголовком, обозначаемым $\psi$ (пси). Силовое уравнение движения включает в себя весовую составляющую:

${\frac {d\mu }{dt}}={\frac {Y}{mU}}+{\frac {g}{U}}\phi$

где g — ускорение свободного падения, а U — скорость.

Включая производные устойчивости:

${\frac {d\mu }{dt}}={\frac {Y_{\beta }}{mU}}\beta +{\frac {Y_{r}}{mU}}r+{\frac {Y_{p}}{mU}}p+{\frac {g}{U}}\phi$

Ожидается, что скорости крена и рыскания будут небольшими, поэтому вклад $Y_{r}$ и $Y_{p}$ будет проигнорирован.

Скорость скольжения и крена изменяются постепенно, поэтому их производные по времени игнорируются. Уравнения рыскания и крена сводятся к:

$N_{\beta }\beta +N_{r}{\frac {d\mu }{dt}}+N_{p}p=0$ (рыскание)

$L_{\beta }\beta +L_{r}{\frac {d\mu }{dt}}+L_{p}p=0$ (рулон)

Решение для $\beta$ и п :

$\beta ={\frac {(L_{r}N_{p}-L_{p}N_{r})}{(L_{p}N_{\beta }-N_{p}L_{\beta })}}{\frac {d\mu }{dt}}$

$p={\frac {(L_{\beta }N_{r}-L_{r}N_{\beta })}{(L_{p}N_{\beta }-N_{p}L_{\beta })}}{\frac {d\mu }{dt}}$

Замена бокового скольжения и скорости крена в уравнении силы приводит к уравнению первого порядка по углу крена:

${\frac {d\phi }{dt}}=mg{\frac {(L_{\beta }N_{r}-N_{\beta }L_{r})}{mU(L_{p}N_{\beta }-N_{p}L_{\beta })-Y_{\beta }(L_{r}N_{p}-L_{p}N_{r})}}\phi$

Это экспоненциальный рост или затухание, в зависимости от того, будет ли коэффициент $\phi$ является положительным или отрицательным. Знаменатель обычно отрицательный, что требует $L_{\beta }N_{r}>N_{\beta }L_{r}$ (оба продукта положительные). Это находится в прямом противоречии с голландскими требованиями к устойчивости крена, и трудно спроектировать самолет, для которого как голландский режим крена, так и спиральный режим были бы по своей природе стабильными.

Поскольку спиральный режим имеет большую постоянную времени, пилот может вмешаться, чтобы эффективно стабилизировать его, но самолету с нестабильным голландским креном будет трудно управлять. Обычно самолет проектируют со стабильным режимом голландского крена и слегка нестабильным режимом спирали.

См. также

• Акронимы и сокращения в авионике
• Воздухоплавание
• Устойчивый полет
• Система управления полетом самолета
• Механик полета самолета
• Курс самолета
• Банк самолетов
• Посадка при боковом ветре
• Динамическое позиционирование
• Поверхности управления полетом
• Динамика вертолета
• JSBSim (программная модель динамики полета с открытым исходным кодом)
• Продольная статическая устойчивость
• Динамика жесткого тела
• Матрица вращения
• Движение корабля
• Производные стабильности
• Статическая маржа
• Эффект флюгера
• Планер Райта 1902 года

Ссылки

Библиография

• Н. К. Синха и Н. Ананткришнан (2013), Элементарная динамика полета с введением в методы бифуркации и продолжения , CRC Press, Тейлор и Фрэнсис.
• Бабистер, AW (1980). Динамическая устойчивость и реакция самолета (1-е изд.). Оксфорд: Пергамон Пресс. ISBN  978-0080247687 .

Внешние ссылки

• MIXR — платформа моделирования смешанной реальности
• JSBsim , независимая от платформы библиотека программного обеспечения для динамики полета и управления с открытым исходным кодом на C ++.