Коэффициент давления

В гидродинамике коэффициент давления представляет собой безразмерное число , которое описывает относительное давление во всем поле потока . давления Коэффициент используется в аэродинамике и гидродинамике . Каждая точка поля потока жидкости имеет свой собственный уникальный коэффициент давления C _p .

Во многих ситуациях в аэродинамике и гидродинамике коэффициент давления в точке вблизи тела не зависит от размера тела. Следовательно, инженерную модель можно протестировать в аэродинамической или водной трубе , коэффициенты давления можно определить в критических точках вокруг модели, и эти коэффициенты давления можно с уверенностью использовать для прогнозирования давления жидкости в этих критических точках вокруг полной модели. размер самолета или лодки.

Определение

Коэффициент давления является параметром для изучения как несжимаемых/сжимаемых жидкостей, таких как вода и воздух. Связь между безразмерным коэффициентом и размерными числами следующая:

$C_{p}={p-p_{\infty } \over {\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}$

где:

$p$ статическое давление в точке, в которой оценивается коэффициент давления

$p_{\infty }$ статическое давление в набегающем потоке (т.е. вдали от каких-либо возмущений)

$\rho _{\infty }$ - плотность жидкости набегающего потока (воздух на уровне моря и 15 ° C составляет 1,225 ${\rm {kg/m^{3}}}$)

$V_{\infty }$ - скорость набегающего потока жидкости или скорость тела в жидкости.

несжимаемый поток

Основная статья: Несжимаемый поток

Используя уравнение Бернулли , коэффициент давления можно дополнительно упростить для потенциальных потоков (невязких и устойчивых):

$C_{p}|_{M\,\approx \,0}={p-p_{\infty } \over p_{0}-p_{\infty }}={1-{\bigg (}{\frac {u}{u_{\infty }}}{\bigg )}^{2}}$

где:

$u$ скорость потока в точке, в которой оценивается коэффициент давления

$M$ – число Маха , принимаемое в пределе нуля

$p_{0}$ потока давление торможения

Это соотношение справедливо для течения несжимаемой жидкости, где изменения скорости и давления настолько малы, что изменениями плотности жидкости можно пренебречь. Это предположение обычно делается в инженерной практике, когда число Маха меньше примерно 0,3.

• $C_{p}$ нулевое значение означает, что давление такое же, как давление набегающего потока.
• $C_{p}$ единица соответствует давлению застоя и указывает на точку застоя .
• самые отрицательные значения $C_{p}$ в потоке жидкости можно суммировать с числом кавитации, чтобы получить запас кавитации. Если этот запас положителен, поток локально полностью жидкий, а если он равен нулю или отрицателен, поток является кавитирующим или газовым.

Места, где $C_{p}=-1$ имеют важное значение в конструкции планеров , поскольку это указывает на подходящее место для порта «Общая энергия» для подачи сигнального давления на вариометр , специальный индикатор вертикальной скорости, который реагирует на вертикальные движения атмосферы, но не реагирует на вертикальное маневрирование планер.

В поле обтекания тела несжимаемой жидкостью найдутся точки с положительными коэффициентами давления до единицы и с отрицательными коэффициентами давления, в том числе с коэффициентами меньше минус единицы.

Сжимаемый поток

Основная статья: Сжимаемый поток

В потоке сжимаемых жидкостей, таких как воздух, и особенно в высокоскоростном потоке сжимаемых жидкостей, ${{\frac {1}{2}}\rho v^{2}}$ ( динамическое давление ) больше не является точной мерой разницы между давлением застоя и статическим давлением . Кроме того, известное соотношение, согласно которому давление застоя равно общему давлению, не всегда справедливо. (Это всегда верно для изоэнтропического потока, но наличие ударных волн может привести к отклонению потока от изэнтропического.) В результате коэффициенты давления могут быть больше единицы в сжимаемом потоке.

Теория возмущений

Коэффициент давления $C_{p}$ можно оценить для безвихревого и изэнтропического течения, введя потенциал $\Phi$ и потенциал возмущения $\phi$, нормированная на скорость набегающего потока $u_{\infty }$

$\Phi =u_{\infty }x+\phi (x,y,z)$

Используя уравнение Бернулли ,

${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}+{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}$

который можно переписать как

${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}+{\frac {a^{2}}{\gamma -1}}={\text{constant}}$

где $a$ это скорость звука.

Коэффициент давления становится

${\begin{aligned}C_{p}&={\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {\gamma }{2}}p_{\infty }M^{2}}}={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left({\frac {a}{a_{\infty }}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left({\frac {\gamma -1}{a_{\infty }^{2}}}({\frac {u_{\infty }^{2}}{2}}-\Phi _{t}-{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}})+1\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&\approx {\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left(1-{\frac {\gamma -1}{a_{\infty }^{2}}}(\phi _{t}+u_{\infty }\phi _{x})\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&\approx -{\frac {2\phi _{t}}{u_{\infty }^{2}}}-{\frac {2\phi _{x}}{u_{\infty }}}\end{aligned}}$

где $a_{\infty }$ - скорость звука в дальней зоне.

Теория локального поршня

Классическая теория поршня является мощным аэродинамическим инструментом. Используя уравнение количества движения и предположение об изэнтропических возмущениях, можно получить следующую основную формулу теории поршня для поверхностного давления:

$p=p_{\infty }\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {w}{a}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}$

где $w$ скорость нисходящего потока и $a$ это скорость звука.

$C_{p}={\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {\gamma }{2}}p_{\infty }M^{2}}}={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {w}{a}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}-1\right]$

Поверхность определяется как

$F(x,y,z,t)=z-f(x,y,t)=0$

Граничное условие скорости скольжения приводит к

${\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}(u_{\infty }+\phi _{x},\phi _{y},\phi _{z})=V_{\text{wall}}\cdot {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}=-{\frac {\partial F}{\partial t}}{\frac {1}{|\nabla F|}}$

Скорость нисходящего потока $w$ аппроксимируется как

$w={\frac {\partial f}{\partial t}}+u_{\infty }{\frac {\partial f}{\partial x}}$

Гиперзвуковой поток

Основная статья: Гиперзвуковая скорость

В гиперзвуковом потоке коэффициент давления можно точно рассчитать для транспортного средства, используя корпускулярную теорию движения жидкости Ньютона, которая неточна для низкоскоростного потока и основана на трех предположениях:

1. Поток можно смоделировать как поток частиц, движущихся прямолинейно.
2. При ударе о поверхность весь нормальный импульс теряется.
3. Весь тангенциальный импульс сохраняется, и поток следует за телом.

Для скорости набегающего потока $V_{\infty }$ воздействие на поверхность территории $A$, которая наклонена под углом $\theta$ относительно набегающего потока изменение нормального импульса равно $V_{\infty }\sin \theta$ а поток массы, падающий на поверхность, равен $\rho _{\infty }V_{\infty }A\sin \theta$, с $\rho _{\infty }$ плотность воздуха набегающего потока. Тогда поток импульса, равный силе, действующей на поверхность $F$, по второму закону Ньютона равна:

$F=(\rho _{\infty }V_{\infty }A\sin \theta )(V_{\infty }\sin \theta )=\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}A\sin ^{2}\theta$

Поделив на площадь поверхности, видно, что сила, приходящаяся на единицу площади, равна разности давлений между поверхностным давлением $p$ и давление набегающего потока $p_{\infty }$, что приводит к соотношению:

${\frac {F}{A}}=p-p_{\infty }=\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}\sin ^{2}\theta \implies {\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}=2\sin ^{2}\theta$

Последнее уравнение можно определить как коэффициент давления, а это означает, что теория Ньютона предсказывает, что коэффициент давления в гиперзвуковом потоке равен:

$C_{p}=2\sin ^{2}\theta$

Для потоков с очень высокой скоростью и транспортных средств с острыми поверхностями теория Ньютона работает очень хорошо.

Модифицированный закон Ньютона

Модификацию ньютоновской теории, специально для тупых тел, предложил Лестер Лис:

$C_{p}=C_{p,\max }\sin ^{2}\theta$

где $C_{p,\max }$ — максимальное значение коэффициента давления в критической точке за нормальной ударной волной :

$C_{p,\max }={\frac {p_{o}-p_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}={\frac {p_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}\left({\frac {p_{o}}{p_{\infty }}}-1\right)={\frac {2}{\gamma M_{\infty }^{2}}}\left({\frac {p_{o}}{p_{\infty }}}-1\right)$

где $p_{o}$ давление застоя и $\gamma$ - отношение удельных теплоемкостей . Последнее соотношение получено из закона идеального газа $p=\rho RT$, число Маха $M=V/a$и скорость звука $a={\sqrt {\gamma RT}}$. Формула трубки Пито Рэлея для калорически идеального нормального амортизатора гласит, что соотношение давления застоя и давления набегающего потока равно:

${\frac {p_{o}}{p_{\infty }}}=\left[{\frac {(\gamma +1)^{2}M_{\infty }^{2}}{4\gamma M_{\infty }^{2}-2(\gamma -1)}}\right]^{\gamma /(\gamma -1)}\left[{\frac {\gamma (2M_{\infty }^{2}-1)+1}{\gamma +1}}\right]$

Следовательно, из этого следует, что максимальный коэффициент давления для модифицированного закона Ньютона равен:

$C_{p,\max }={\frac {2}{\gamma M_{\infty }^{2}}}\left\{\left[{\frac {(\gamma +1)^{2}M_{\infty }^{2}}{4\gamma M_{\infty }^{2}-2(\gamma -1)}}\right]^{\gamma /(\gamma -1)}\left[{\frac {\gamma (2M_{\infty }^{2}-1)+1}{\gamma +1}}\right]-1\right\}$

В пределе, когда $M_{\infty }\rightarrow \infty$, максимальный коэффициент давления становится:

$C_{p,\max }=\left[{\frac {(\gamma +1)^{2}}{4\gamma }}\right]^{\gamma /(\gamma -1)}\left({\frac {4}{\gamma +1}}\right)$

И как $\gamma \rightarrow 1$, $C_{p,\max }=2$, восстанавливая коэффициент давления из теории Ньютона на очень высоких скоростях. Модифицированная ньютоновская теория существенно точнее ньютоновской модели расчета распределения давления над затупленными телами.

Распределение давления

Профиль при заданном угле атаки будет иметь так называемое распределение давления. Это распределение давления представляет собой просто давление во всех точках аэродинамического профиля. Обычно графики этих распределений рисуют так, чтобы на графике выше были отрицательные числа, так как $C_{p}$ верхняя поверхность профиля обычно будет ниже нуля и, следовательно, будет верхней линией на графике.

Связь с аэродинамическими коэффициентами

Все три аэродинамических коэффициента являются интегралами кривой коэффициента давления вдоль хорды.Коэффициент подъемной силы для двумерного сечения профиля со строго горизонтальными поверхностями можно рассчитать из коэффициента распределения давления путем интегрирования, либо рассчитав площадь между линиями на распределении. Это выражение не подходит для прямого численного интегрирования с использованием панельного метода аппроксимации подъемной силы, поскольку не учитывает направление подъемной силы, вызванной давлением. Это уравнение справедливо только для нулевого угла атаки.

$C_{l}={\frac {1}{x_{TE}-x_{LE}}}\int \limits _{x_{LE}}^{x_{TE}}\left(C_{p_{l}}(x)-C_{p_{u}}(x)\right)dx$

где:

$C_{p_{l}}$ коэффициент давления на нижней поверхности

$C_{p_{u}}$ коэффициент давления на верхней поверхности

$x_{LE}$ это передовое расположение

$x_{TE}$ это расположение задней кромки

Когда нижняя поверхность $C_{p}$ Если значение выше (более отрицательное) в распределении, оно считается отрицательной областью, поскольку оно будет создавать прижимную силу, а не подъемную силу.

См. также

• Коэффициент подъемной силы
• Коэффициент сопротивления
• Коэффициент момента тангажа

Дальнейшее чтение

• Эбботт, И.Х. и фон Дёнхофф, А.Е. (1959) Теория секций крыла , Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, стандартная книга № 486-60586-8.
• Андерсон, Джон Д. (2001) Основы аэродинамики, 3-е издание , McGraw-Hill. ISBN   0-07-237335-0