Расширение Янцена – Рэлея

В гидродинамике . расширение Янцена – Рэлея представляет собой регулярное расширение возмущений с использованием соответствующего числа Маха в качестве малого параметра расширения для поля скорости, которое обладает небольшими эффектами сжимаемости Расширение впервые изучил О. Янзен в 1913 г. и лорд Рэлей в 1916 году.

Устойчивый потенциальный поток

Рассмотрим стационарный потенциальный поток , характеризующийся потенциалом скорости $\varphi (\mathbf {x} ).$ Затем $\varphi$ удовлетворяет

$(c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx})=0$

где $c=c(v^{2})$, скорость звука выражается как функция величины скорости $v^{2}=(\nabla \varphi )^{2}.$ Для политропного газа можно написать

$c^{2}=c_{0}^{2}-{\frac {\gamma -1}{2}}v^{2}$

где $\gamma$ - коэффициент удельной теплоемкости , $c_{0}^{2}=h_{0}(\gamma -1)/2$ - скорость застойного звука (т. е. скорость звука в покоящемся газе) и $h_{0}$ – энтальпия торможения . Позволять $U$ быть характерным масштабом скорости и $c_{0}$ – характерное значение скорости звука , то функция $c(v^{2})$ имеет форму

${\frac {c^{2}}{U^{2}}}={\frac {1}{M^{2}}}-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v^{2}}{U^{2}}}.$

где $M=U/c_{0}$ соответствующее число Маха .

Для малых чисел Маха можно ввести ряд

$\varphi =U(\varphi _{0}+M^{2}\varphi _{1}+M^{4}\varphi _{2}+\cdots )$

Подставив это основное уравнение и собрав члены разных порядков $Ma$ приводит к системе уравнений. Это

${\begin{aligned}\nabla ^{2}\varphi _{0}&=0,\\\nabla ^{2}\varphi _{1}&=\varphi _{0,x}^{2}\varphi _{0,xx}+\varphi _{0,y}^{2}\varphi _{0,yy}+\varphi _{0,z}^{2}\varphi _{0,zz}+2(\varphi _{0,x}\varphi _{0,y}\varphi _{0,xy}+\varphi _{0,y}\varphi _{0,z}\varphi _{0,yz}+\varphi _{0,z}\varphi _{0,x}\phi _{0,zx}),\end{aligned}}$

и так далее. Обратите внимание, что $\varphi _{1}$ не зависит от $\gamma$ с которым последняя величина появляется в задаче для $\varphi _{2}$.

Метод Имаи–Ламлы

Простой метод нахождения частного интеграла для $\varphi _{1}$ в двух измерениях был разработан Исао Имаи и Эрнстом Ламлой . В двух измерениях проблему можно решить с помощью комплексного анализа, введя комплексный потенциал $f(z,{\overline {z}})=\varphi +i\psi$ формально рассматривается как функция $z=x+iy$ и его сопряженное ${\overline {z}}=x-iy$; здесь $\psi$ — функция потока , определенная так, что

$u={\frac {\rho _{\infty }}{\rho }}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}={\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\quad v=-{\frac {\rho _{\infty }}{\rho }}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}$

где $\rho _{\infty }$ — некоторое эталонное значение плотности. Серия возмущений $f$ дается

$f(z,{\overline {z}})=U[f_{0}(z)+M^{2}f_{1}(z,{\overline {z}})+\cdots ]$

где $f_{0}=f_{0}(z)$ является аналитической функцией, поскольку $\varphi _{0}$ и $\psi _{0}$, являющиеся решениями уравнения Лапласа, являются гармоническими функциями. Интеграл для задачи первого порядка приводит к формуле Имаи–Ламлы

$f_{1}(z,{\overline {z}})={\frac {1}{4}}{\frac {df_{0}}{dz}}{\overline {\int \left({\frac {df_{0}}{dz}}\right)^{2}dz}}+F(z)$

где $F(z)$ — однородное решение (аналитическая функция), которое можно использовать для удовлетворения необходимых граничных условий. Ряд для комплексного потенциала скорости $g=u-iv$ дается

$g(z,{\overline {z}})=U[g_{0}(z)+M^{2}g_{1}(z,{\overline {z}})+\cdots ]$

где $g_{0}=df_{0}/dz$ и

$g_{1}(z,{\overline {z}})={\frac {1}{4}}{\frac {d^{2}f_{0}}{dz^{2}}}{\overline {\int \left({\frac {df_{0}}{dz}}\right)^{2}dz}}+{\frac {1}{4}}{\overline {\frac {df_{0}}{dz}}}\left({\frac {df_{0}}{dz}}\right)^{2}+{\frac {dF}{dz}}.$