Тропическое проективное пространство

В тропической геометрии тропическое проективное пространство является тропическим аналогом классического проективного пространства .

Определение

Учитывая модуль $M$ над тропическим полукольцом $T$ , его проективизация представляет собой обычное проективное пространство модуля: фактор-пространство модуля (без аддитивного тождества $0$ ) при скалярном умножении, без умножения на скалярное аддитивное тождество 0: ^[а]

\mathbf {T} (M):=(M\setminus \mathbf {0} )/(\mathbf {T} \setminus 0).

В тропических условиях тропическое умножение представляет собой классическое сложение с действительным числом единицы 0 (а не 1); тропическое сложение минимальное или максимальное (в зависимости от соглашения), с расширенным действительным числом $\infty$ (не 0), ^[б] поэтому проще записать это, используя расширенные действительные числа, а не абстрактные алгебраические единицы:

\mathbf {T} (M):=(M\setminus {\boldsymbol {\infty }})/(\mathbf {T} \setminus \infty ).

Как и в классическом случае, стандартное $n$ -мерное тропическое проективное пространство определяется как фактор стандартного $(n +1)$ -мерного координатного пространства скалярным умножением, со всеми операциями, определенными по координатам: ^[1]

\mathbf {TP} ^{n}:=(\mathbf {T} ^{n+1}\setminus {\boldsymbol {\infty }})/(\mathbf {T} \setminus \infty ).

Тропическое умножение соответствует классическому сложению, поэтому тропическое скалярное умножение на $c$ соответствует добавлению $c$ ко всем координатам. Таким образом, два элемента ⁠ $\mathbf {T} ^{n+1}\setminus {\boldsymbol {\infty }}$ ⁠ идентифицируются, если их координаты отличаются на одну и ту же добавочную величину $c$ :

(x_{0},\dots ,x_{n})\sim (y_{0},\dots ,y_{n})\iff (x_{0}+c,\dots ,x_{n}+c)=(y_{0},\dots ,y_{n}).

Примечания

^ Как обычно, скалярное умножение любого вектора на 0 дает тождество для сложения векторов $0$ , поэтому их необходимо опустить, иначе все векторы будут идентифицированы.
^ $\infty$ можно интерпретировать как положительную или отрицательную бесконечность, в зависимости от соглашения.

Ссылки

^ Михалкин 2006 , с. 6, пример 3.10.

Рихтер-Геберт, Юрген; Штурмфельс, Бернд; Теобальд, Торстен (2003). «Первые шаги в тропической геометрии». arXiv : math/0306366 .
Михалкин, Григорий (2006). «Тропическая геометрия и ее приложения». arXiv : math/0601041 .

[1] Как обычно, скалярное умножение любого вектора на 0 дает тождество для сложения векторов $0$ , поэтому их необходимо опустить, иначе все векторы будут идентифицированы.

[2] $\infty$ можно интерпретировать как положительную или отрицательную бесконечность, в зависимости от соглашения.

[FOOTNOTEMikhalkin20066example_3.10-3] Михалкин 2006 , с. 6, пример 3.10.

[а]

[б]

[1]