Теорема Штейна-Розенберга

Теорема Штейна-Розенберга , доказанная в 1948 году, утверждает, что при определенных предпосылках метод Якоби и метод Гаусса-Зейделя либо оба сходятся, либо оба расходятся. Если они сходятся, то метод Гаусса-Зейделя асимптотически быстрее метода Якоби.

Заявление

Позволять $A=(a_{ij})\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ . Позволять $\rho (X)$ быть спектральным радиусом матрицы $X$ . Позволять $T_{J}=D^{-1}(L+U)$ и $T_{1}=(D-L)^{-1}U$ — расщепление матрицы для метода Якоби и метода Гаусса-Зейделя соответственно.

Теорема: Если $a_{ij}\leq 0$ для $i\neq j$ и $a_{ii}>0$ для $i=1,\ldots ,n$ . Тогда справедливо одно и только одно из следующих взаимоисключающих отношений:

$\rho (T_{J})=\rho (T_{1})=0$ .
$0<\rho (T_{1})<\rho (T_{J})<1$ .
$1=\rho (T_{J})=\rho (T_{1})$ .
$1<\rho (T_{J})<\rho (T_{1})$ .

Доказательства и приложения

В доказательстве используется теорема Перрона-Фробениуса для неотрицательных матриц. Его доказательство можно найти в книге Ричарда С. Варги 1962 года «Матричный итеративный анализ» . ^{[ 1 ]}

По словам Ричарда Варги:

Теорема Штейна-Розенберга дает нам нашу первую теорему сравнения для двух разных итерационных методов. При более практичной интерпретации точечный итерационный метод Гаусса-Зейделя не только вычислительно удобнее использовать (из-за требований к хранению), чем точечная итеративная матрица Якоби, но также асимптотически быстрее, когда матрица Якоби $T_{J}$ неотрицательный

Использование большего количества гипотез в матрице $A$ , можно даже дать количественные результаты. Например, при определенных условиях можно утверждать, что метод Гаусса-Зейделя в два раза быстрее итерации Якоби. ^{[ 2 ]}

Ссылки

^ Варга, Ричард С. (1962). Матричный итерационный анализ . ISBN 978-3-540-66321-8 . ОЛ 5858659М .
^ «Теорема Штейна и Розенберга» . eklausmeier.goip.de . 06.06.2023.

[1] Варга, Ричард С. (1962). Матричный итерационный анализ . ISBN 978-3-540-66321-8 . ОЛ 5858659М .

[2] «Теорема Штейна и Розенберга» . eklausmeier.goip.de . 06.06.2023.

[ 1 ]

[ 2 ]