Теорема Сен-Венана

В механике твердого тела принято анализировать свойства балок постоянного сечения. Теорема Сен-Венана утверждает, что односвязное сечение с максимальной на кручение жесткостью представляет собой круг. ^{[ 1 ]} Он назван в честь французского математика Адемара Жан-Клода Барре де Сен-Венана .

Дана односвязная область D на плоскости A. площадью $\rho$ радиус и $\sigma$ площадь его наибольшей вписанной окружности, жесткость на кручение P D выражением определяется

P=4\sup _{f}{\frac {\left(\iint \limits _{D}f\,dx\,dy\right)^{2}}{\iint \limits _{D}{f_{x}}^{2}+{f_{y}}^{2}\,dx\,dy}}.

Здесь верхняя грань берется по всем непрерывно дифференцируемым функциям, обращающимся в нуль на границе D . Существование этой супремума является следствием неравенства Пуанкаре .

Сен-Венан ^{[ 2 ]} предположил в 1856 году, что Из всех областей D равной площади A наибольшую жесткость на кручение имеет круглая, т.е.

P\leq P_{\text{circle}}\leq {\frac {A^{2}}{2\pi }}.

Строгое доказательство этого неравенства не было дано Полья до 1948 года . ^{[ 3 ]} Еще одно доказательство было предоставлено Давенпортом и доложено. ^{[ 4 ]} Более общее доказательство и оценка

P<4\rho ^{2}A

дает Макай. ^{[ 1 ]}

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Э. Макай, Доказательство теоремы Сен-Венана о жесткости на кручение, Acta Mathematica Hungarica , том 17, номера 3–4 / сентябрь, 419–422, 1966 г. дои : 10.1007/BF01894885
^ Ж. К. Барре де Сен-Венан, широко известный как Сан-Франциско Мемуары о кручении призм, Мемуары, представленные различными учеными в Академии наук, 14 (1856), стр. 233–560.
^ Г. Полиа, Жесткость на кручение, главная частота, электростатическая емкость и симметризация, Quarterly of Applied Math., 6 (1948), стр. 267, 277.
^ Г. Полиа и Г. Сегё, Изопериметрические неравенства в математической физике (Princeton Univ. Press, 1951).

[Makai-1] Jump up to: ^а ^б Э. Макай, Доказательство теоремы Сен-Венана о жесткости на кручение, Acta Mathematica Hungarica , том 17, номера 3–4 / сентябрь, 419–422, 1966 г. дои : 10.1007/BF01894885

[2] Ж. К. Барре де Сен-Венан, широко известный как Сан-Франциско Мемуары о кручении призм, Мемуары, представленные различными учеными в Академии наук, 14 (1856), стр. 233–560.

[3] Г. Полиа, Жесткость на кручение, главная частота, электростатическая емкость и симметризация, Quarterly of Applied Math., 6 (1948), стр. 267, 277.

[4] Г. Полиа и Г. Сегё, Изопериметрические неравенства в математической физике (Princeton Univ. Press, 1951).

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]