уравнение G

В горении является уравнение G скаляром $G(\mathbf {x} ,t)$ уравнение поля, описывающее мгновенное положение пламени, введенное Форманом А. Уильямсом в 1985 году. при изучении турбулентного горения предварительно смешанной смеси. Уравнение получено на основе метода Level-set . Уравнение было впервые изучено Джорджем Х. Маркштейном в ограничительной форме для скорости горения.

Математическое описание

Источники:

Уравнение G читается как

${\frac {\partial G}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla G=U_{L}|\nabla G|$

где

• $\mathbf {v}$ поле скорости потока
• $U_{L}$ - местная скорость горения

Местоположение пламени определяется $G(\mathbf {x} ,t)=G_{o}$ которое можно определить произвольно так, что $G(\mathbf {x} ,t)>G_{o}$ это область сгоревшего газа и $G(\mathbf {x} ,t)<G_{o}$ – область несгоревшего газа. Нормальный вектор пламени: $\mathbf {n} =-\nabla G/|\nabla G|$.

Локальная скорость горения

Согласно теории Маталона – Матковского – Клавена – Жулена , скорость горения растянутого пламени при малой кривизне и малой деформации определяется выражением

$U_{L}=S_{L}-S_{L}{\mathcal {L}}\kappa -{\mathcal {L}}S$

где

• $S_{L}$ - скорость горения нерастянутого пламени
• $S=-\mathbf {n} \cdot \nabla \mathbf {v} \cdot \mathbf {n}$ - член, соответствующий скорости деформации пламени, возникающей из-за поля течения
• ${\mathcal {L}}$ – длина Маркштейна , пропорциональная толщине ламинарного пламени $\delta _{L}$, константа пропорциональности – число Маркштейна ${\mathcal {M}}$
• ${\textstyle \kappa =\nabla \cdot \mathbf {n} =-{\frac {\nabla ^{2}G-\mathbf {n} \cdot \nabla (\mathbf {n} \cdot \nabla G)}{|\nabla G|}}}$ – кривизна пламени, которая положительна, если фронт пламени выпуклый относительно несгоревшей смеси, и наоборот.

Простой пример — Слот-горелка

Уравнение G имеет точное выражение для простой щелевой горелки. Рассмотрим двумерную плоскую щелевую горелку с шириной щели $b$ с предварительно перемешанной смесью реагентов подается через щель с постоянной скоростью $\mathbf {v} =(0,U)$, где координата $(x,y)$ выбирается таким, что $x=0$ лежит в центре прорези и $y=0$ лежит в месте устья прорези. При воспламенении смеси пламя развивается от устья щели на определенную высоту. $y=L$ плоскоконической формы с углом конуса $\alpha$. В установившемся случае уравнение G сводится к

$U{\frac {\partial G}{\partial y}}=U_{L}{\sqrt {\left({\frac {\partial G}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial G}{\partial y}}\right)^{2}}}$

Если разделение формы $G(x,y)=y+f(x)$ вводится, уравнение принимает вид

$U=U_{L}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}}},\quad {\text{or}}\quad {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\sqrt {U^{2}-U_{L}^{2}}}{U_{L}}}$

что при интегрировании дает

$f(x)={\frac {\left(U^{2}-U_{L}^{2}\right)^{1/2}}{U_{L}}}|x|+C,\quad \Rightarrow \quad G(x,y)={\frac {\left(U^{2}-U_{L}^{2}\right)^{1/2}}{U_{L}}}|x|+y+C$

Без ограничения общности выберите место пламени, которое должно находиться в $G(x,y)=G_{o}=0$. Так как пламя прикреплено к устью прорези $|x|=b/2,\ y=0$, граничное условие $G(b/2,0)=0$, который можно использовать для оценки константы $C$. Таким образом, скалярное поле

$G(x,y)={\frac {\left(U^{2}-U_{L}^{2}\right)^{1/2}}{U_{L}}}\left(|x|-{\frac {b}{2}}\right)+y$

На кончике пламени мы имеем $x=0,\ y=L,\ G=0$, высота пламени легко определяется как

$L={\frac {b\left(U^{2}-U_{L}^{2}\right)^{1/2}}{2U_{L}}}$

и угол пламени $\alpha$ дается

$\tan \alpha ={\frac {b/2}{L}}={\frac {U_{L}}{\left(U^{2}-U_{L}^{2}\right)^{1/2}}}$

Используя тригонометрическое тождество $\tan ^{2}\alpha =\sin ^{2}\alpha /\left(1-\sin ^{2}\alpha \right)$, у нас есть

$\sin \alpha ={\frac {U_{L}}{U}}$