Квадрат отношений

В статистике квадрат отношений таблицы индивидов x — это графическое представление, используемое при факторном анализе переменных . Это представление дополняет классические представления, обеспечиваемые анализом главных компонентов (PCA) или анализом множественного соответствия (MCA), а именно представления отдельных лиц, количественных переменных (корреляционный круг) и категорий качественных переменных (в центроиде людей, которые ими обладают). ). Это особенно важно при факторном анализе смешанных данных (FAMD) и множественном факторном анализе (MFA).

Определение квадрата отношений в системе MCA

Основная цель квадрата отношений — представить сами переменные, а не их категории, что тем более ценно, поскольку переменных много. Для этого рассчитываем для каждой качественной переменной $j$ и каждый фактор $F_{s}$ ( $F_{s}$ , классифицировать $s$ фактор, – вектор координат особей по оси рангов $s$ ; в ПКА, $F_{s}$ называется главной компонентой ранга $s$ ), квадрат корреляционного отношения между $F_{s}$ и переменная $j$ , обычно обозначается: $\eta ^{2}(j,F_{s})$
Таким образом, каждой факториальной плоскости можно сопоставить представление самих качественных переменных. Их координаты находятся между 0 и 1, переменные появляются в квадрате, вершинами которого являются точки (0,0), (0,1), (1,0) и (1,1).

Пример в MCA

Шесть человек ( $i_{1},\ldots ,i_{6})$ описываются тремя переменными $(q_{1},q_{2},q_{3})$ имеющие соответственно 3, 2 и 3 категории. Пример: индивидуум $i_{1}$ имеет категорию $a$ из $q_{1}$ , $d$ из $q_{2}$ и $f$ из $q_{3}$ .

Таблица 1. Набор минутных данных для MCA.
	$q_{1}$	$q_{2}$	$q_{3}$
$i_{1}$	$q_{1}$ -а	$q_{2}$ -д	$q_{3}$ -ф
$i_{2}$	$q_{1}$ -б	$q_{2}$ -д	$q_{3}$ -ф
$i_{3}$	$q_{1}$ -с	$q_{2}$ -д	$q_{3}$ -г
$i_{4}$	$q_{1}$ -а	$q_{2}$ -и	$q_{3}$ -г
$i_{5}$	$q_{1}$ -б	$q_{2}$ -и	$q_{3}$ -час
$i_{6}$	$q_{1}$ -с	$q_{2}$ -и	$q_{3}$ -час

Применительно к этим данным функция MCA, включенная в пакет R FactoMineR, предоставляет классический график на рисунке 1.

Квадрат отношений (рис. 2) облегчает чтение классической факториальной плоскости. Это указывает на то, что:

Первый фактор связан с тремя переменными, но особенно $q_{3}$ (которые имеют очень высокую координату по первой оси), а затем $q_{2}$ .
Второй фактор связан только с $q_{1}$ и $q_{3}$ (и не для $q_{2}$ который имеет координату по оси 2, равную 0) и то сильным и равным образом.

Все это видно на классической графике, но не так четко. Роль квадрата отношений заключается в первую очередь в том, чтобы помочь в чтении обычного изображения. Это ценно, когда переменных много и они имеют множество координат.

Расширения

Это представление может быть дополнено представлениями количественных переменных, координатами которых являются квадраты коэффициентов корреляции (а не коэффициентов корреляции). Таким образом, второе преимущество квадрата отношений заключается в возможности представлять одновременно количественные и качественные переменные. ^[1]

таблицы Квадрат отношений может быть построен на основе любого факторного анализа отдельных лиц x переменных . В частности, он используется (или должен использоваться) систематически:

в анализе множественных соответствий (MCA); ^[2]
в анализе главных компонент (PCA), когда имеется много дополнительных переменных;
в факторном анализе смешанных данных (FAMD).

Расширение этого рисунка на группы переменных (как представить группу переменных одной точкой?) используется в многофакторном анализе (MFA).

История

Идея представления точками самих качественных переменных (а не категорий) принадлежит Бриджит Эскофье. ^[3] Графика в том виде, в котором она используется сейчас, была представлена Брижит Эскофье и Жеромом Пажем в рамках многофакторного анализа. ^[4]

Заключение

В MCA квадрат отношений дает синтетическое представление о связях между смешанными переменными, что тем более ценно, поскольку существует множество переменных, имеющих множество категорий. Это представление может быть полезно в любом факторном анализе, когда имеется множество смешанных переменных, активных и/или дополнительных.

Ссылки

^ Несколько примеров с двумя типами переменных приведены в книге Паже Жерома (2014). Многофакторный анализ на примере использования R. Чепмен и Холл / CRC The R Series, Лондон, 272 стр.
^ Хассон Ф., Ле С. и Пажес Дж. (2009). Исследовательский многомерный анализ на примере с использованием Р. Чепмена и Холла/CRC The R Series, Лондон. ISBN 978-2-7535-0938-2
^ Эскофье Бриджит (1979). Представление переменных в анализе множественных соответствий. Журнал прикладной статистики . полет. XXVII, № 4, стр. 37–47. http://archive.numdam.org/ARCHIVE/RSA/RSA_1979__27_4/RSA_1979__27_4_37_0/RSA_1979__27_4_37_0.pdf
^ Эскофье Б. и Пажес Дж. (1988, 1-е изд., 2008, 4-е изд.) Простой и множественный факторный анализ; цели, методы и интерпретация . Дюно, Париж, 318 стр. ISBN 978-2-10-051932-3

Внешние ссылки

Программное обеспечение FactoMineR AR, предназначенное для разведочного анализа данных.

[1] Несколько примеров с двумя типами переменных приведены в книге Паже Жерома (2014). Многофакторный анализ на примере использования R. Чепмен и Холл / CRC The R Series, Лондон, 272 стр.

[2] Хассон Ф., Ле С. и Пажес Дж. (2009). Исследовательский многомерный анализ на примере с использованием Р. Чепмена и Холла/CRC The R Series, Лондон. ISBN 978-2-7535-0938-2

[3] Эскофье Бриджит (1979). Представление переменных в анализе множественных соответствий. Журнал прикладной статистики . полет. XXVII, № 4, стр. 37–47. http://archive.numdam.org/ARCHIVE/RSA/RSA_1979__27_4/RSA_1979__27_4_37_0/RSA_1979__27_4_37_0.pdf

[4] Эскофье Б. и Пажес Дж. (1988, 1-е изд., 2008, 4-е изд.) Простой и множественный факторный анализ; цели, методы и интерпретация . Дюно, Париж, 318 стр. ISBN 978-2-10-051932-3

[1]

[2]

[3]

[4]