Анализ множественной корреспонденции

В статистике для номинальных категориальных данных , анализ множественных соответствий ( MCA ) — это метод анализа данных используемый для обнаружения и представления основных структур в наборе данных. Это достигается путем представления данных в виде точек в низкомерном евклидовом пространстве . Таким образом, эта процедура является аналогом анализа главных компонент для категориальных данных. MCA можно рассматривать как расширение простого анализа соответствий (CA), поскольку оно применимо к большому набору категориальных переменных .

Как расширение анализа корреспонденции

MCA выполняется путем применения алгоритма CA либо к индикаторной матрице (также называемой полной дизъюнктивной таблицей – CDT), либо к таблице Берта, сформированной из этих переменных. Матрица показателей представляет собой матрицу индивидуумов × переменных, где строки представляют индивидуумов, а столбцы представляют собой фиктивные переменные, представляющие категории переменных. Анализ индикаторной матрицы позволяет непосредственно представить индивидуумов в виде точек в геометрическом пространстве. Таблица Берта представляет собой симметричную матрицу всех двусторонних перекрестных таблиц между категориальными переменными и имеет аналогию с ковариационной матрицей непрерывных переменных. Анализ таблицы Берта является более естественным обобщением простого анализа соответствий , и отдельные лица или средства групп людей могут быть добавлены в качестве дополнительных точек к графическому отображению.

В подходе с использованием матрицы индикаторов связи между переменными выявляются путем расчета расстояния хи-квадрат между различными категориями переменных и между отдельными лицами (или респондентами). Эти ассоциации затем представляются графически в виде «карт», что упрощает интерпретацию структур данных. Затем оппозиции между строками и столбцами максимизируются, чтобы выявить основные измерения, которые лучше всего могут описать центральные оппозиции в данных. Как и в факторном анализе или анализе главных компонентов , первая ось является наиболее важным измерением, вторая ось — вторым по важности и так далее, с точки зрения величины учитываемой дисперсии. Количество осей, которые необходимо сохранить для анализа, определяется путем расчета модифицированных собственных значений .

Подробности

Поскольку MCA адаптирован для получения статистических выводов на основе категориальных переменных (например, вопросов с несколькими вариантами ответов), первое, что необходимо сделать, — это преобразовать количественные данные (например, возраст, размер, вес, время суток и т. д.) в категории (используя для например, статистические квантили).

Когда набор данных полностью представлен в виде категориальных переменных, можно построить соответствующую так называемую полную дизъюнктивную таблицу. Обозначим эту таблицу $X$. Если $I$ человек ответили на опрос с $J$ вопросы с несколькими вариантами ответов по 4 ответа каждый, $X$ будет иметь $I$ ряды и $4J$ столбцы.

Более теоретически, предполагать $X$ представляет собой полностью дизъюнктивную таблицу $I$ наблюдения за $K$ категориальные переменные. Предположим также, что $k$-я переменная имеет $J_{k}$ разные уровни (категории) и набор $J=\sum _{k=1}^{K}J_{k}$. Стол $X$ тогда это $I\times J$ матрица со всеми коэффициентами $0$ или $1$. Установите сумму всех записей $X$ быть $N$ и представить $Z=X/N$. В MCA также есть два специальных вектора: первый $r$, который содержит суммы по строкам $Z$, и $c$, который содержит суммы по столбцам $Z$. Примечание $D_{r}={\text{diag}}(r)$ и $D_{c}={\text{diag}}(c)$, диагональные матрицы, содержащие $r$ и $c$ соответственно как диагональ. С этими обозначениями вычисление MCA по существу состоит в разложении матрицы по сингулярным значениям:

$M=D_{r}^{-1/2}(Z-rc^{T})D_{c}^{-1/2}$

Разложение $M$ дает тебе $P$, $\Delta$ и $Q$ такой, что $M=P\Delta Q^{T}$ с P, Q двумя унитарными матрицами и $\Delta$ — обобщенная диагональная матрица сингулярных значений (той же формы, что и $Z$). Положительные коэффициенты $\Delta ^{2}$ являются собственными значениями $Z$.

Интерес к MCA обусловлен тем, как наблюдения (строки) и переменные (столбцы) $Z$ можно разложить. Такое разложение называется факторным разложением. Координаты наблюдений в факторном пространстве задаются выражением

$F=D_{r}^{-1/2}P\Delta$

The $i$-й ряд $F$ представлять $i$-е наблюдение в факторном пространстве. Аналогично, координаты переменных (в том же факторном пространстве, что и наблюдения!) определяются выражением

$G=D_{c}^{-1/2}Q\Delta$

Последние работы и расширения

В последние годы несколько учеников Жана-Поля Бензекри усовершенствовали MCA и включили его в более общую структуру анализа данных, известную как геометрический анализ данных . Это предполагает развитие прямых связей между простым анализом соответствий , анализом главных компонентов и MCA с формой кластерного анализа, известной как евклидова классификация.

Два расширения имеют большое практическое применение.

• В качестве активных элементов в МКА можно включить несколько количественных переменных. Это расширение называется факторным анализом смешанных данных (см. ниже).
• Очень часто в анкетах вопросы структурированы по нескольким вопросам. При статистическом анализе необходимо учитывать эту структуру. В этом состоит цель множественного факторного анализа, который уравновешивает различные проблемы (т.е. различные группы переменных) в рамках глобального анализа и обеспечивает, помимо классических результатов факторного анализа (в основном графики отдельных лиц и категорий), несколько результатов (показатели и графики) особенности структуры группы.

Области применения

В социальных науках MCA, возможно, наиболее известен благодаря своему применению Пьером Бурдье . особенно в его книгах «La Distinction» , «Homo Academicus» и «Государственное дворянство» . Бурдье утверждал, что существует внутренняя связь между его видением социального как пространственного и реляционного, отраженного в понятии поля , и геометрическими свойствами MCA. Социологи, следующие за работами Бурдье, чаще всего отдают предпочтение анализу индикаторной матрицы, а не таблицы Берта, во многом из-за центральной важности, придаваемой анализу «облака индивидов».

Анализ множественных соответствий и анализ главных компонентов

MCA также можно рассматривать как PCA, примененный к полной дизъюнктивной таблице. Для этого CDT необходимо преобразовать следующим образом. Позволять $y_{ik}$ обозначают общий термин CDT. $y_{ik}$ равен 1, если индивидуальный $i$ имеет категорию $k$ и 0, если нет. Обозначим $p_{k}$, доля лиц, обладающих категорией $k$. Преобразованный CDT (TCDT) имеет общий термин:

$x_{ik}=y_{ik}/p_{k}-1$

Нестандартизированный PCA, примененный к TCDT, столбец $k$ иметь вес $p_{k}$, приводит к результатам MCA.

Эта эквивалентность полностью объяснена в книге Жерома Пажеса. Он играет важную теоретическую роль, поскольку открывает путь к одновременной обработке количественных и качественных переменных. Два метода одновременно анализируют эти два типа переменных: факторный анализ смешанных данных и, когда активные переменные разделены на несколько групп: множественный факторный анализ.

Эта эквивалентность не означает, что MCA является частным случаем PCA, поскольку это не частный случай CA. Это лишь означает, что эти методы тесно связаны друг с другом, поскольку принадлежат к одному семейству: факторным методам.

Программное обеспечение

Существует множество программ для анализа данных, включающих MCA, например STATA и SPSS. Пакет R FactoMineR также включает MCA. Это программное обеспечение связано с книгой, описывающей основные методы выполнения MCA. Существует также пакет Python для [1] , который работает с матрицами массивов numpy; пакет еще не реализован для кадров данных Spark.

Внешние ссылки

• Ле Ру, Б. и Х. Руане (2004), Анализ геометрических данных, От анализа соответствий к анализу структурированных данных в Google Книгах: [2]
• Гринакр, Майкл (2008), «Практика анализа корреспонденции» , Фонд BBVA, Мадрид, доступен для бесплатного скачивания на веб-сайте фонда [3]
• Программное обеспечение FactoMineR AR, предназначенное для разведочного анализа данных.