Неравенство Этемади

В теории вероятностей неравенство Этемади — это так называемое «максимальное неравенство», неравенство , которое ограничивает вероятность того , что частичные суммы конечного независимых набора случайных величин превышают некоторую заданную границу. Результат – заслуга Насроллы Этемади .

Формулировка неравенства

Пусть X ₁ , ..., X _n — независимые действительные случайные величины, определенные в некотором общем вероятностном пространстве , и пусть α ≥ 0. Пусть S _k обозначает частичную сумму

$S_{k}=X_{1}+\cdots +X_{k}.\,$

Затем

$\Pr {\Bigl (}\max _{1\leq k\leq n}|S_{k}|\geq 3\alpha {\Bigr )}\leq 3\max _{1\leq k\leq n}\Pr {\bigl (}|S_{k}|\geq \alpha {\bigr )}.$

Примечание

Предположим, что случайные величины X _k имеют общее математическое ожидание нулевое. Примените неравенство Чебышева к правой части неравенства Этемади и замените α на α /3. Результатом будет неравенство Колмогорова с дополнительным множителем 27 в правой части:

$\Pr {\Bigl (}\max _{1\leq k\leq n}|S_{k}|\geq \alpha {\Bigr )}\leq {\frac {27}{\alpha ^{2}}}\operatorname {var} (S_{n}).$

Ссылки

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера . John Wiley & Sons, Inc. Нью-Йорк: ISBN  0-471-00710-2 . (Теорема 22.5)
• Этемади, Насролла (1985). «О некоторых классических результатах теории вероятностей». Санкхья Сер. А. ​ 47 (2): 215–221. JSTOR   25050536 . МР   0844022 .