Принцип игры в кости

В теории вероятностей принцип крэпса — это теорема о событий вероятностях при повторяющихся испытаниях iid . Позволять $E_{1}$ и $E_{2}$ обозначают два взаимоисключающих события, которые могут произойти в данном испытании. Тогда вероятность того, что $E_{1}$ происходит до $E_{2}$ равна условной вероятности того, что $E_{1}$ происходит при условии, что $E_{1}$ или $E_{2}$ произойдет при следующем испытании, которое

$\operatorname {P} [E_{1}\,\,{\text{before}}\,\,E_{2}]=\operatorname {P} \left[E_{1}\mid E_{1}\cup E_{2}\right]={\frac {\operatorname {P} [E_{1}]}{\operatorname {P} [E_{1}]+\operatorname {P} [E_{2}]}}$

События $E_{1}$ и $E_{2}$ не обязательно должны быть исчерпывающими (если да, то результат тривиален).

Доказательство

Позволять $A$ быть событием, которое $E_{1}$ происходит до $E_{2}$. Позволять $B$ быть событием, которое ни $E_{1}$ ни $E_{2}$ происходит в данном испытании. С $B$, $E_{1}$ и $E_{2}$ являются взаимоисключающими и коллективно исчерпывающими для первого испытания, у нас есть

$\operatorname {P} (A)=\operatorname {P} (E_{1})\operatorname {P} (A\mid E_{1})+\operatorname {P} (E_{2})\operatorname {P} (A\mid E_{2})+\operatorname {P} (B)\operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (E_{1})+\operatorname {P} (B)\operatorname {P} (A\mid B)$

и $\operatorname {P} (B)=1-\operatorname {P} (E_{1})-\operatorname {P} (E_{2})$. Поскольку испытания являются iid, мы имеем $\operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A)$. С использованием $\operatorname {P} (A|E_{1})=1,\quad \operatorname {P} (A|E_{2})=0$ и решаем отображаемое уравнение для $\operatorname {P} (A)$ дает формулу

$\operatorname {P} (A)={\frac {\operatorname {P} (E_{1})}{\operatorname {P} (E_{1})+\operatorname {P} (E_{2})}}$.

Приложение

Если испытания представляют собой повторения игры между двумя игроками, а события

$E_{1}:\mathrm {player\ 1\ wins}$

$E_{2}:\mathrm {player\ 2\ wins}$

тогда принцип крэпса дает соответствующие условные вероятности того, что каждый игрок выиграет определенное повторение, при условии, что кто-то выигрывает (т. е. при условии, что ничья не происходит). Фактически, на результат влияют только относительные предельные вероятности выигрыша. $\operatorname {P} [E_{1}]$ и $\operatorname {P} [E_{2}]$ ; в частности, вероятность ничьей не имеет значения.

Остановка

Если игра повторяется до тех пор, пока кто-нибудь не выиграет, то указанная выше условная вероятность — это вероятность того, что игрок выиграет игру. Ниже это показано для оригинальной игры в кости с использованием альтернативного доказательства.

Пример игры в кости

Если игра ведется в кости , то этот принцип может значительно упростить вычисление вероятности выигрыша в определенном сценарии. В частности, если при первом броске выпало 4, 5, 6, 8, 9 или 10, то кости многократно перебрасываются до тех пор, пока не произойдет одно из двух событий:

$E_{1}:{\text{ the original roll (called ‘the point’) is rolled (a win) }}$

$E_{2}:{\text{ a 7 is rolled (a loss) }}$

С $E_{1}$ и $E_{2}$ являются взаимоисключающими, применяется принцип крэпса. Например, если исходный результат составил 4, то вероятность выигрыша равна

${\frac {3/36}{3/36+6/36}}={\frac {1}{3}}$

Это позволяет избежать суммирования бесконечного ряда, соответствующего всем возможным результатам:

$\sum _{i=0}^{\infty }\operatorname {P} [{\text{first i rolls are ties,}}(i+1)^{\text{th}}{\text{roll is ‘the point’}}]$

Математически мы можем выразить вероятность прокатки $i$ ничьи с последующим перекатыванием точки:

$\operatorname {P} [{\text{first i rolls are ties, }}(i+1)^{\text{th}}{\text{roll is ‘the point’}}]=(1-\operatorname {P} [E_{1}]-\operatorname {P} [E_{2}])^{i}\operatorname {P} [E_{1}]$

Суммирование превращается в бесконечную геометрическую прогрессию :

$\sum _{i=0}^{\infty }(1-\operatorname {P} [E_{1}]-\operatorname {P} [E_{2}])^{i}\operatorname {P} [E_{1}]=\operatorname {P} [E_{1}]\sum _{i=0}^{\infty }(1-\operatorname {P} [E_{1}]-\operatorname {P} [E_{2}])^{i}$

$={\frac {\operatorname {P} [E_{1}]}{1-(1-\operatorname {P} [E_{1}]-\operatorname {P} [E_{2}])}}={\frac {\operatorname {P} [E_{1}]}{\operatorname {P} [E_{1}]+\operatorname {P} [E_{2}]}}$

что согласуется с предыдущим результатом.

Ссылки

Примечания

• Питман, Джим (1993). Вероятность . Берлин: Springer-Verlag. п. 210. ИСБН  0-387-97974-3 .