Отрицательные мнимые системы

Теория систем отрицательного воображаемого (НИ) была введена Ланзоном и Петерсеном в 1990 году. Обобщение теории было представлено в В случае с одним входом и одним выходом (SISO) такие системы определяются с учетом свойств мнимой части частотной характеристики G(jω) и требуют, чтобы система не имела полюсов в правой полуплоскости и $j(G(j\omega )-G(j\omega )^{\ast })$ > 0 для всех ω из (0, ∞). Это означает, что система является отрицательно-мнимой, если она одновременно стабильна и график Найквиста будет иметь фазовый сдвиг между [-π 0] для всех ω > 0.

Отрицательное мнимое определение

Квадратная матрица передаточной функции $G(s)$ является NI, если выполняются следующие условия:

1. $G(s)$ не имеет полюса $Re[s]>0$.
2. Для всех $\omega \geq 0$ такой, что $j\omega$ не является полюсом $G(s)$ и $j\left(G(j\omega )-G(j\omega )^{\ast }\right)\geq 0$.
3. Если $s=j\omega _{0},\omega _{0}>0$ является полюсом $G(s)$, то это простой полюс и, кроме того, матрица остатков ${\textstyle K=\lim _{s\to j\omega _{0}}(s-j\omega _{0})jG(s)}$ является эрмитовым и положительно полуопределенным.
4. Если $s=0$ является полюсом $G(s)$, затем ${\textstyle \lim _{s\to 0}s^{k}G(s)=0}$ для всех $k\geq 3$ и ${\textstyle \lim _{s\to 0}s^{2}G(s)}$ является эрмитовым и положительно полуопределенным.

Эти условия можно резюмировать следующим образом:

1. Система $G(s)$ является стабильным.
2. Для всех положительных частот диаграмма Найквиста отклика системы находится в диапазоне [-π 0].

Отрицательная мнимая лемма

Позволять ${\begin{bmatrix}{\begin{array}{c|c}A&B\\\hline C&D\end{array}}\end{bmatrix}}$ быть минимальной реализацией матрицы передаточной функции $G(s)$. Затем, $G(s)$ является NI тогда и только тогда, когда $D=D^{T}$ и существует матрица

$P=P^{T}\geq 0,{\text{ }}W\in \mathbb {R} ^{m\times m},{\text{and }}L\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ такой, что выполняется следующий LMI:

${\begin{bmatrix}PA+A^{T}P&PB-A^{T}C^{T}\\B^{T}P-CA&-(CB+B^{T}C^{T})\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-L^{T}L&-L^{T}W\\-W^{T}L&-W^{T}W\end{bmatrix}}\leq 0.$

Этот результат получен из положительной реальной теории после преобразования отрицательной воображаемой системы в положительную реальную систему для анализа.