Спускающаяся M-оценка

В статистике , повторно нисходящие M-оценки представляют собой Ψ -типа M-оценки , которые имеют функции ψ которые не убывают вблизи начала координат, но уменьшаются к 0 вдали от начала координат. Их ψ -функции можно выбрать так, чтобы они плавно спускались к нулю, так что они обычно удовлетворяют ψ ( x ) = 0 для всех x с | х | > r , где r называется минимальной точкой отбраковки.

Благодаря этим свойствам функции ψ , эти виды оценок очень эффективны, имеют высокую точку пробоя и, в отличие от других методов отклонения выбросов , не страдают от маскирующего эффекта. Они эффективны, поскольку полностью отвергают грубые выбросы и не игнорируют полностью умеренно большие выбросы (например, медиану).

Преимущества

M-оценки с нисходящим нисходящим значением имеют высокие точки пробоя (близкие к 0,5), а их функцию Ψ можно выбрать для плавного нисхождения до 0. Это означает, что умеренно большие выбросы не игнорируются полностью, и значительно повышает эффективность нисходящей M-оценки.

Спускающиеся M-оценки немного более эффективны, чем оценка Хубера для нескольких симметричных распределений с более широкими хвостами, но примерно на 20% более эффективны, чем оценка Хубера для распределения Коши . Это связано с тем, что они полностью отвергают грубые выбросы, в то время как оценщик Хубера фактически обрабатывает их так же, как умеренные выбросы.

Как и другие М-оценщики, но в отличие от других методов отклонения выбросов, они не страдают от маскирующих эффектов.

Недостатки

Уравнение M-оценки для обратного нисходящего средства оценки может не иметь единственного решения. Следовательно, начальную точку для итеративного решения необходимо выбирать осторожно, например, с помощью другого средства оценки.

Выбор ренисходящих Ψ функций

При выборе нисходящей функции Ψ необходимо следить за тем, чтобы она не спускалась слишком круто, что может очень плохо повлиять на знаменатель в выражении для асимптотической дисперсии

${\frac {\int \Psi ^{2}\,dF}{(\int \Psi '\,dF)^{2}}}$

где F — модельное распределение смеси.

Этот эффект особенно вреден, когда большое отрицательное значение ψ ′( x ) сочетается с большим положительным значением ψ. ² ( x есть кластер выбросов ), и рядом с x .

Примеры

1. Трехчастные M-оценщики Хампеля имеют Ψ- функции, которые являются нечетными функциями и определяются для любого x следующим образом:

$\Psi (x)={\begin{cases}x,&0\leq |x|\leq a{\text{ (central segment)}}\\a\,\operatorname {sign} (x),&a\leq |x|\leq b{\text{ (high and low flat segments)}}\\{\frac {a(r-|x|)}{r-b}}\,\operatorname {sign} (x),&b\leq |x|\leq r{\text{ (end slopes)}}\\0,&r\leq |x|\qquad \,{\text{(left and right tails)}}\end{cases}}$

Эта функция изображена на следующем рисунке для a = 1,645, b = 3 и r = 6,5.

2. Бивесовые или биквадратные М-оценщики Тьюки имеют функции Ψ для любого положительного k , которые определяются следующим образом:

$\Psi (x)=x(1-(x/k)^{2})^{2};\ |x|\leq k$

Эта функция изображена на следующем рисунке для k = 5.

3. Синусоидальная оценка Эндрю имеет следующую Ψ-функцию:

$\Psi (x)=\sin {(x)};\ -\pi \leq x\leq \pi$

Эта функция изображена на следующем рисунке.

Ссылки

• Спускающиеся M-оценки , Шевляков Г., Моргенталер С. и Шурыгин А.М. Дж. Stat Plann Inference 138:2906–2917, 2008.
• Робастная оценка и тестирование , Роберт Г. Стаудте и Саймон Дж. Шизер, Wiley, 1990.
• Робастная статистика , Хубер П., Нью-Йорк: Wiley, 1981.

См. также

• М-оценщик
• Надежная статистика