Аномалии Шоттки

Аномальная теплоемкость Шоттки $C$ для двухуровневой системы. $T$ абсолютная температура, $k_{\mathrm {B} }$ – постоянная Больцмана и $\varepsilon$ – разность энергий между уровнями.

— Аномалия Шоттки это эффект, наблюдаемый в физике твердого тела, когда удельная теплоемкость твердого тела при низкой температуре имеет пик. Аномальной ее называют потому, что теплоемкость обычно увеличивается с температурой или остается постоянной. Это происходит в системах с ограниченным числом энергетических уровней, так что E(T) возрастает резкими скачками, по одному на каждый доступный энергетический уровень. Поскольку Cv = (dE/dT), при переходе температуры от одного этапа к другому будет наблюдаться большой пик.

Этот эффект можно объяснить, глядя на изменение энтропии системы. При нулевой температуре занят только самый нижний энергетический уровень, энтропия равна нулю, и вероятность перехода на более высокий энергетический уровень очень мала. С повышением температуры энтропия увеличивается, и, следовательно, вероятность перехода возрастает. Когда температура приближается к разнице между уровнями энергии, появляется широкий пик теплоемкости, соответствующий большому изменению энтропии при небольшом изменении температуры. При высоких температурах все уровни заселены равномерно, поэтому при небольших изменениях температуры энтропия снова меняется незначительно, что приводит к более низкой удельной теплоемкости.

$S=\int _{0}^{T}\!\left({\frac {C_{v}}{T}}\right)dT\,$

Для двухуровневой системы удельная теплоемкость, исходящая от аномалии Шоттки, имеет вид:

$C_{\rm {Schottky}}=R\left({\frac {\Delta }{T}}\right)^{2}{\frac {e^{\Delta /T}}{[1+e^{\Delta /T}]^{2}}}\,$

Где Δ — энергия между двумя уровнями.

Эта аномалия обычно наблюдается в парамагнитных солях или даже в обычном стекле (из-за парамагнитных примесей железа) при низкой температуре. При высокой температуре парамагнитные спины имеют множество доступных спиновых состояний, но при низких температурах некоторые из спиновых состояний «замораживаются» (имеют слишком высокую энергию из-за расщепления кристаллического поля ), и энтропия, приходящаяся на парамагнитный атом, снижается.

Он был назван в честь Уолтера Х. Шоттки .

Подробности

В системе, где частицы могут иметь либо состояние с энергией 0, либо $\epsilon$, ожидаемое значение энергии частицы в каноническом ансамбле равно:

$\langle \epsilon \rangle =\epsilon \cdot {\frac {e^{-\beta \epsilon }}{1+e^{-\beta \epsilon }}}={\frac {\epsilon }{e^{+\beta \epsilon }+1}}$

с обратной температурой $\beta ={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}$ и постоянная Больцмана $k_{\mathrm {B} }$.

Полная энергия $N$ независимые частицы, таким образом:

$U=N\langle \epsilon \rangle ={\frac {N\epsilon }{e^{+\beta \epsilon }+1}}$

Следовательно, теплоемкость равна:

$C=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{\epsilon }=-{\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T^{2}}}{\frac {\partial U}{\partial \beta }}=Nk_{\mathrm {B} }\left({\frac {\epsilon }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)^{2}{\frac {e^{+{\frac {\epsilon }{k_{\mathrm {B} }T}}}}{\left(e^{+{\frac {\epsilon }{k_{\mathrm {B} }T}}}+1\right)^{2}}}$

Построение графика $C$ В зависимости от температуры пик можно увидеть при $k_{\mathrm {B} }T\approx 0.417\epsilon$. В этом разделе ${\frac {\epsilon }{k_{\mathrm {B} }}}=\Delta$для $\Delta$ во вводном разделе.