Теорема Каца – Бернштейна

Теорема Каца –Бернштейна — одна из первых характеристических теорем математической статистики . Легко видеть, что если случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и нормально распределены с одинаковой дисперсией, то их сумма и разность также независимы. Теорема Каца – Бернштейна утверждает, что независимость суммы и разности двух независимых случайных величин характеризует нормальное распределение ( распределение Гаусса ). Эту теорему независимо доказали польско-американский математик Марк Кац и советский математик Сергей Бернштейн .

Формулировка

Позволять $\xi$ и $\eta$ быть независимыми случайными величинами. Если $\xi +\eta$ и $\xi -\eta$ тогда независимы $\xi$ и $\eta$ имеют нормальное распределение ( распределение Гаусса ).

Обобщение

Обобщением теоремы Каца–Бернштейна является теорема Дармуа–Скитовича , в которой вместо суммы и разности линейные формы от n рассматриваются независимых случайных величин.

Ссылки

• Кац М. «О характеристике нормального распределения», Американский журнал математики . 1939. 61. С. 726—728.
• Бернштейн С. Н. «О свойстве, характеризующем гауссово распределение», Известия Ленинградского политехнического института . 1941. Т. 217, № 3. С. 21—22.