Оптимальная оценка

В прикладной статистике оптимальная оценка — это регуляризованной матрицы метод обращения , основанный на теореме Байеса . Он очень широко используется в науках о Земле , особенно при зондировании атмосферы . Матричная обратная задача выглядит следующим образом:

$\mathbf {A} {\vec {x}}={\vec {y}}$

Основная идея состоит в том, чтобы преобразовать матрицу A в условную вероятность и переменные, ${\vec {x}}$ и ${\vec {y}}$ в распределения вероятностей, предполагая гауссову статистику и используя эмпирически определенные ковариационные матрицы.

Вывод

Обычно ожидается, что статистика большинства измерений будет гауссовой . Так например для $P({\vec {y}}|{\vec {x}})$, мы можем написать:

$P({\vec {y}}|{\vec {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{mn/2}|{\boldsymbol {S_{y}}}|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\boldsymbol {A}}{\vec {x}}-{\vec {y}})^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}({\boldsymbol {A}}{\vec {x}}-{\vec {y}})\right]$

где m и n — количество элементов в ${\vec {x}}$ и ${\vec {y}}$ соответственно ${\boldsymbol {A}}$ - матрица, которую необходимо решить (линейная или линеаризованная прямая модель) и ${\boldsymbol {S_{y}}}$ - ковариационная матрица вектора ${\vec {y}}$. Аналогично это можно сделать для ${\vec {x}}$:

$P({\vec {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{m/2}|{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\vec {x}}-{\widehat {x_{a}}})^{T}{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}^{-1}({\vec {x}}-{\widehat {x_{a}}})\right]$

Здесь $P({\vec {x}})$ за так называемое «априорное» распределение: ${\widehat {x_{a}}}$ обозначает априорные значения для ${\vec {x}}$ пока ${\boldsymbol {S_{x_{a}}}}$ это его ковариационная матрица.

Самое приятное в гауссовских распределениях то, что для их описания необходимы только два параметра, и поэтому всю проблему можно снова преобразовать в матрицы. Предполагая, что $P({\vec {x}}|{\vec {y}})$ принимает следующую форму:

$P({\vec {x}}|{\vec {y}})={\frac {1}{(2\pi )^{mn/2}|{\boldsymbol {S_{x}}}|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\vec {x}}-{\widehat {x}})^{T}{\boldsymbol {S_{x}}}^{-1}({\vec {x}}-{\widehat {x}})\right]$

$P({\vec {y}})$ можно пренебречь, поскольку при заданном значении ${\vec {x}}$, это просто постоянный член масштабирования. Теперь можно найти как математическое ожидание ${\vec {x}}$, ${\widehat {x}}$и для его ковариационной матрицы, приравнивая $P({\vec {x}}|{\vec {y}})$ и $P({\vec {y}}|{\vec {x}})P({\vec {x}})$. Это приводит к следующим уравнениям:

${\boldsymbol {S_{x}}}=({\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}^{-1}}}{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {S_{x_{a}}^{-1}}})^{-1}$

${\widehat {x}}={\widehat {x_{a}}}+{\boldsymbol {S_{x}}}{\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}({\vec {y}}-{\boldsymbol {A}}{\widehat {x_{a}}})$

Поскольку мы используем гауссиану, ожидаемое значение эквивалентно максимально вероятному значению, и поэтому это также форма оценки максимального правдоподобия .

Обычно при оптимальной оценке в дополнение к вектору полученных величин возвращается еще одна дополнительная матрица вместе с ковариационной матрицей. Иногда ее называют матрицей разрешения или ядром усреднения и рассчитывают следующим образом:

${\boldsymbol {R}}=({\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}^{-1})^{-1}{\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}{\boldsymbol {A}}$

Это говорит нам о том, сколько других элементов вектора смешано для данного элемента полученного вектора. В случае поиска информации о профиле это обычно указывает разрешение по высоте для данной высоты. Например, если векторы разрешения для всех высот содержат ненулевые элементы (с числовым допуском) в своих четырех ближайших соседях, то разрешение по высоте составляет лишь одну четверть от фактического размера сетки.

Ссылки

• Клайв Д. Роджерс (1976). «Определение температуры и состава атмосферы по данным дистанционных измерений теплового излучения». Обзоры по геофизике и космической физике . 14 (4): 609. дои : 10.1029/RG014i004p00609 .

• Клайв Д. Роджерс (2000). Обратные методы зондирования атмосферы: теория и практика . Всемирная научная.

• Клайв Д. Роджерс (2002). «Дистанционное зондирование атмосферы: обратная задача». Труды Четвертой весенней школы Оксфорда/RAL по количественному наблюдению Земли . Оксфордский университет.