Чебышевская итерация
В числовой линейной алгебре — итерация Чебышева это итерационный метод определения решений системы линейных уравнений . Метод назван в честь русского математика Пафнутия Чебышева .
Итерация Чебышева позволяет избежать вычисления скалярных произведений , что необходимо для других нестационарных методов. Для некоторых архитектур с распределенной памятью эти внутренние продукты являются узким местом с точки зрения эффективности. Цена, которую платят за отказ от внутренних продуктов, заключается в том, что метод требует достаточных знаний о спектре матрицы коэффициентов A , то есть верхней оценки верхнего собственного значения и нижней оценки нижнего собственного значения. метода для несимметричных матриц A. Существуют модификации
Пример кода в MATLAB
[ редактировать ]function [x] = SolChebyshev002(A, b, x0, iterNum, lMax, lMin) d = (lMax + lMin) / 2; c = (lMax - lMin) / 2; preCond = eye(size(A)); % Preconditioner x = x0; r = b - A * x; for i = 1:iterNum % size(A, 1) z = linsolve(preCond, r); if (i == 1) p = z; alpha = 1/d; else if (i == 2) beta = (1/2) * (c * alpha)^2 alpha = 1/(d - beta / alpha); p = z + beta * p; else beta = (c * alpha / 2)^2; alpha = 1/(d - beta / alpha); p = z + beta * p; end; x = x + alpha * p; r = b - A * x; %(= r - alpha * A * p) if (norm(r) < 1e-15), break; end; % stop if necessary end;endСм. также
[ редактировать ]- Итерационный метод. Линейные системы
- Список тем численного анализа. Решение систем линейных уравнений
- Итерация Якоби
- Метод Гаусса – Зейделя
- Модифицированная итерация Ричардсона
- Последовательное чрезмерное расслабление
- Метод сопряженных градиентов
- Обобщенный метод минимальной невязки
- Метод бисопряженного градиента
- Итеративная библиотека шаблонов
- ИМЛ++
Ссылки
[ редактировать ]- «Итерационный метод Чебышева» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- ^ Барретт, Ричард; Майкл, Берри; Тони, Чан; Деммель, Джеймс; Донато, июнь; Донгарра, Джек; Эйххаут, Виктор; Посо, Ролдан; Ромин, Чарльз; Ван дер Ворст, Хенк (1994). Шаблоны для решения линейных систем: строительные блоки для итеративных методов (2-е изд.). СИАМ.
- ^ Гуткнехт, Мартин; Рёллин, Стефан (2002). «Повторная версия Чебышева». Параллельные вычисления . 28 (2): 263–283. дои : 10.1016/S0167-8191(01)00139-9 . hdl : 20.500.11850/145926 .