Сглаживание режима k

Сглаживание тензора (3-го порядка). Тензор можно сгладить тремя способами, чтобы получить матрицы, содержащие его векторы режима 0, режима 1 и режима 2.

В полилинейной алгебре сглаживание мод-m , также известный как матризация , матризация или разворачивание , это операция, которая изменяет форму многостороннего массива ${\mathcal {A}}$ в матрицу, обозначаемую $A_{[m]}$ (двусторонний массив).

Матризацию можно рассматривать как обобщение математической концепции векторизации .

Определение

Мод -м матрицизация тензора ${\mathcal {A}}\in {\mathbb {C} }^{I_{0}\times I_{1}\times \cdots \times I_{M}},$ определяется как матрица ${\bf {A}}_{[m]}\in {\mathbb {C} }^{I_{m}\times (I_{0}\dots I_{m-1}I_{m+1}\dots I_{M})}$. Как указывает порядок в скобках, векторы-столбцы мод располагаются путем прогона всех остальных индексов мод по их диапазонам, при этом меньшие индексы мод изменяются быстрее, чем большие; таким образом

$$[{\bf {A}}_{[m]}]_{jk}=a_{i_{1}\dots i_{m}\dots i_{M}},$$где $j=i_{m}$ и $$k=1+\sum _{n=0 \atop n\neq m}^{M}(i_{n}-1)\prod _{\ell =0 \atop \ell \neq m}^{n-1}I_{\ell }.$$Для сравнения, матрица ${\bf {A}}_{[m]}\in {\mathbb {C} }^{I_{m}\times (I_{m+1}\dots I_{M}I_{0}I_{1}\dots I_{m-1})}$ что является результатом развертывания имеет столбцы, которые являются результатом циклического обхода всех режимов, начиная с режима m + 1, как видно из порядка в скобках. Это неэффективный способ матризации.

Приложения

Эта операция используется в тензорной алгебре и ее методах, таких как Parafac и HOSVD .