Теория множеств двойного расширения

В математике теория двойных расширений множеств (DEST) — это аксиоматическая теория множеств, предложенная Анджеем Киселевичем, состоящая из двух отдельных отношений принадлежности во вселенной множеств: обозначен здесь $\in$ и $\varepsilon$и набор аксиом, связывающих их. Цель определения двух отношений членства состоит в том, чтобы избежать обычных парадоксов теории множеств , не ослабляя при этом существенно аксиому неограниченного понимания .

Интуитивно понятно, что в DEST понимание используется для определения элементов набора по одному отношению членства с использованием формул, которые включают только другое отношение членства. Позволять $\phi (x)$ быть формулой первого порядка со свободной переменной $x$ на языке DEST без отношения членства $\varepsilon$. Тогда аксиомы DEST предполагают набор $A=\{x|\phi (x)\}$ такой, что $x\varepsilon A\iff \phi (x)$. Например, $x\notin x$ это формула, включающая только $\in$, и, таким образом, DEST постулирует набор Рассела $R=\{x|x\notin x\}$, где $x\varepsilon R\iff x\notin x$. Обратите внимание, что для $x=R$, мы получаем $R\varepsilon R\iff R\notin R$. Поскольку отношения членства различны, мы избегаем парадокса Рассела.

Основное внимание в DEST уделяется регулярным наборам, то есть наборам, расширения которых согласно двум отношениям принадлежности совпадают, т. е. наборам $A$ для чего он считает, что $\forall x.x\in A\iff x\varepsilon A$. Предыдущее обсуждение предполагает, что набор Рассела $R=\{x|x\notin x\}$ не может быть регулярным, так как в противном случае это приведет к парадоксу Рассела.