Рейнг-корректирующий код ошибок

Ранные коды
Классификация
Иерархия	Линейный код блока Код ранга
Длина блока	не
Длина сообщения	k
Расстояние	n - k + 1
Размер алфавита	Q = Q. Не ( Q Prime)
Обозначение	[ n , k , d ] -code
Алгоритмы
Чистый -сайс Евклидовый с полиномами Фробениуса

В теории кодирования кодами коды рангов (также называемые габидулина ) являются невоичными Линейные коды коррекции ошибок по сравнению с не хэммингом , а метрикой ранга . Они описали систематический способ строительных норм, который мог бы обнаружить и исправить множество случайных ранга ошибок . Добавляя избыточность с помощью кодирования k -симбольного слова к слову n -симбола, код ранга может исправить любые ошибки ранга до t = ⌊ ( d -1) / 2 ⌋, где d -кодовое расстояние. В качестве кода стирания он может исправить до D - 1 известных стираний.

Код ранга - это алгебраический линейный код по конечному поле $GF(q^{N})$ Подобно коду Рида -Соломона .

Ранг вектора над $GF(q^{N})$ максимальное количество линейно независимых компонентов над $GF(q)$Полем Ранга расстояния между двумя векторами над $GF(q^{N})$ это звание разницы этих векторов.

Код ранга исправляет все ошибки с рангом вектора ошибок, не больше, чем t .

Ранга метрика

Позволять $X^{n}$ быть n -мерным векторным пространством над конечным полем $GF\left({q^{N}}\right)$, где $q$ является силой простого и $N$ это положительное целое число. Позволять $\left(u_{1},u_{2},\dots ,u_{N}\right)$, с $u_{i}\in GF(q^{N})$, быть основой $GF\left({q^{N}}\right)$ как векторное пространство над полем $GF\left({q}\right)$.

Каждый элемент $x_{i}\in GF\left({q^{N}}\right)$ может быть представлен как $x_{i}=a_{1i}u_{1}+a_{2i}u_{2}+\dots +a_{Ni}u_{N}$Полем Следовательно, каждый вектор ${\vec {x}}=\left({x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}\right)$ над $GF\left({q^{N}}\right)$ может быть написано как матрица:

${\vec {x}}=\left\|{\begin{array}{*{20}c}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots &a_{2,n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{N,1}&a_{N,2}&\ldots &a_{N,n}\end{array}}\right\|$

Звание вектора ${\vec {x}}$ над полем $GF\left({q^{N}}\right)$ это звание соответствующей матрицы $A\left({\vec {x}}\right)$ над полем $GF\left({q}\right)$ обозначен $r\left({{\vec {x}};q}\right)$.

Набор всех векторов ${\vec {x}}$ это пространство $X^{n}=A_{N}^{n}$Полем Карта ${\vec {x}}\to r\left({\vec {x}};q\right)$) определяет норму над $X^{n}$ и метрика ранга :

$d\left({{\vec {x}};{\vec {y}}}\right)=r\left({{\vec {x}}-{\vec {y}};q}\right)$

Код ранга

Набор $\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}$ векторов от $X^{n}$ называется кодом с кодовым расстоянием $d=\min d\left(x_{i},x_{j}\right)$Полем Если набор также образует k -мерную подпространство $X^{n}$, тогда это называется линейным ( n , k ) -кодом с расстоянием $d$Полем Такой метрический код линейного ранга всегда удовлетворяет ограничению синглтона $d\leq n-k+1$ с равенством.

Генерирующая матрица

Существует несколько известных конструкций кодов ранга, которые представляют собой коды максимального ранга (или MRD) с d = n - k + 1. Самый простой для построения известен как (обобщенный) код габидулина, он был обнаружен сначала Delsarte (который назвал его синглтонской системой ), а затем габидулином (и Kshevetskiy ).

Давайте определим власть Фросениуса $[i]$ элемента $x\in GF(q^{N})$ как

$x^{[i]}=x^{q^{i\mod N}}.\,$

Затем каждый вектор ${\vec {g}}=(g_{1},g_{2},\dots ,g_{n}),~g_{i}\in GF(q^{N}),~n\leq N$, линейно независимы $GF(q)$, определяет генерирующую матрицу MRD ( n , k , d = n - k + 1) -код.

$G=\left\|{\begin{array}{*{20}c}g_{1}&g_{2}&\dots &g_{n}\\g_{1}^{[m]}&g_{2}^{[m]}&\dots &g_{n}^{[m]}\\g_{1}^{[2m]}&g_{2}^{[2m]}&\dots &g_{n}^{[2m]}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\g_{1}^{[(k-1)m]}&g_{2}^{[(k-1)m]}&\dots &g_{n}^{[(k-1)m]}\end{array}}\right\|,$

где $\gcd(m,N)=1$.

Приложения

Существует несколько предложений для криптосистем с открытым ключом на основе кодов рангов. Однако большинство из них были доказаны небезопасными (см. EG Journal of Cryptology, Апрель 2008 г. ).

Коды рангов также полезны для исправления ошибок и стирания в сетевом кодировании .

Смотрите также

• Линейный код
• Коррекция ошибок тростника
• Расположен - алгоритм Дасси
• Сетевое кодирование

Ссылки

• Габидулин, Эрнст М. (1985), «Теория кодов с максимальным расстоянием ранга» , Проблемы передачи информации , 21 (1): 1–12
• Кшевецкий, Александр; Габидулин, Эрнст М. (4–9 сентября 2005 г.). «Новая конструкция кодов ранга». Разбирательство. Международный симпозиум по теории информации, 2005. ISIT 2005 . С. 2105–2108. doi : 10.1109/isit.2005.1523717 . ISBN  978-0-7803-9151-2 Полем S2CID   11679865 .
• Габидулин, Эрнст М.; Пилипчук, Нина И. (29 июня - 4 июля 2003 г.). «Новый метод коррекции стирания по кодам ранга». Международный симпозиум IEEE по теории информации, 2003. Труды . п. 423. doi : 10.1109/isit.2003.1228440 . ISBN  978-0-7803-7728-8 Полем S2CID   122552232 .

Внешние ссылки

• Реализация MATLAB кодека -ранга