Теорема Мак Лейна о когерентности

В теории категорий , разделе математики, теорема когерентности Мак Лейна утверждает, по словам Сондерса Мак Лейна , что «каждая диаграмма коммутирует». Точнее (см. #Контрпример ), он утверждает, что каждая формальная диаграмма коммутирует, где «формальная диаграмма» является аналогом правильно построенных формул и терминов в теории доказательств .

Контрпример

Неразумно ожидать , что мы сможем показать буквально каждую диаграмму поездок на работу, благодаря следующему примеру Исбелла.

Позволять ${\mathsf {Set}}_{0}\subset {\mathsf {Set}}$ — скелет категории множеств и D — единственное счетное множество в ней; примечание $D\times D=D$ по уникальности. Позволять $p:D=D\times D\to D$ быть проекцией на первый фактор. Для любых функций $f,g:D\to D$, у нас есть $f\circ p=p\circ (f\times g)$. Предположим теперь, что естественные изоморфизмы $\alpha :X\times (Y\times Z)\simeq (X\times Y)\times Z$ являются личностью; в частности, это касается $X=Y=Z=D$. Тогда для любого $f,g,h:D\to D$, с $\alpha$ является тождественным и естественным,

$f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p$.

С $p$ является эпиморфизмом, отсюда следует $f=f\times g$. Аналогично, используя проекцию на второй множитель, получаем $g=f\times g$ и так $f=g$, что абсурдно.

Ссылки

• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-98403-8 . OCLC   37928530 .
• Раздел 5 Сондерса Мак Лейна, Топология и логика как источник алгебры (послание президента при отставке), Бюллетень AMS 82:1, январь 1976 г.

Внешние ссылки

• https://ncatlab.org/nlab/show/coherence+theorem+for+monoidal+categories
• https://ncatlab.org/nlab/show/Mac+Lane%27s+proof+of+the+coherence+theorem+for+monoidal+categories
• https://unapologetic.wordpress.com/2007/06/29/mac-lanes-coherence-theorem/