Чаплыгинские сани

Сани Чаплыгина — простой педагогический пример неголономной системы в механике , описанный Сергеем Чаплыгиным . Он состоит из корпуса, скользящего без трения по горизонтальной плоскости, с лезвием, ограничивающим его движение, так что нож скользит только в продольном направлении. Поскольку это ограничение является неголономным, теорема Лиувилля неприменима, и хотя энергия сохраняется, движение является диссипативным в том смысле, что объем фазового пространства не сохраняется. Движение приводится к равновесию, при котором сани движутся без вращения, при этом острие ножа следует за центром масс.

Есть несколько способов убедиться в том, что система неголономна. Размерность фазового пространства равна 5, что нечетно. Ограничение на скорость не выводится из ограничения на координаты.

Движение системы можно охарактеризовать просто. Пусть v — скорость, положительные значения указывают на то, что острие ножа тянется. Пусть ω — угловая скорость. Тогда уравнения движения будут иметь вид

${\dot {v}}=a\omega ^{2},$

${\dot {\omega }}=-{\frac {ma}{I+ma^{2}}}v\omega ,$

где a — расстояние между центром масс и точкой контакта, которой часто является передняя часть саней, I — момент инерции, а m — масса. Решения представляют собой эллипсы в плоскости v–ω. Уравнения движения симметричны при обращении времени, но асимметричны при инверсии закрепленной в теле оси, совмещенной с острием ножа.

В геометрической механике сани Чаплыгина обитают в особой евклидовой группе. ${\text{SE}}_{2}(\mathbb {R} )\cong {\text{SO}}(2)\rtimes \mathbb {R} ^{2}$ поскольку учитываются положение и направление.

Аналогом саней Чаплыгина является торпеда. Теперь тело без трения скользит в пространстве, а не в плоскости. Система вынуждена скользить только в продольном направлении и не может поворачиваться вокруг направления движения, подобно тому, как торпеда движется в воде. Размерность фазового пространства равна 9, поскольку существует 6 позиций и 6 скоростей в сочетании с 3 ограничениями. Эта система является естественным аналогом саней Чаплыгина, поскольку живет в ${\text{SE}}_{3}(\mathbb {R} )\cong {\text{SO}}(3)\rtimes \mathbb {R} ^{3}$.

Ссылки

• А. М. Блох. Неголономная механика и управление. Спрингер Нью-Йорк, штат Нью-Йорк . ISBN   978-1-4939-3821-6
• В.А. Кларк, А.М. Блох, Существование инвариантных объемов в неголономных системах.